Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao bằng $\dfrac{3 R}{2}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\dfrac{R}{2}$. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là

A.  

$\dfrac{2 \sqrt{3} R^{2}}{3}$.

B.  

$\dfrac{3 \sqrt{2} R^{2}}{2}$.

C.  

$\dfrac{2 \sqrt{2} R^{2}}{3}$.

D.  

$\dfrac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2}$.
Chi tiết

Giả sử $\left( \alpha \right)$ cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật $A B C D$
Gọi $H$ là trung điểm của $A B$. Khi đó $O H \bot A B$
Gọi $O , O^{'}$ lần lượt là tâm của hai mặt đáy
Theo giả thiết ta có $\text{OH} = \dfrac{R}{2}$
Lại có: $B H = \sqrt{O B^{2} - O H^{2}} = \sqrt{R^{2} - \dfrac{R^{2}}{4}} = \dfrac{R \sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow A B = 2 B H = R \sqrt{3}$
Diện tích thiết diện $A B C D$ là $S_{A B C D} = A B . C D = R \sqrt{3} . \dfrac{3 R}{2} = \dfrac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2}$
Chọn D.

Đáp án đúng là: D