Cho $f \left( x \right)$ là hàm số bậc ba. Hàm số $f^{'} \left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f \left( e^{x} + 1 \right) = x + \dfrac{m}{3}$ có hai nghiệm thực phân biệt là

A.  

$\left( 3 f \left(\right. 1 \right) + 3 \text{ln} 2 ; + \infty \left.\right)$.

B.  

$\left(\right. 3 f \left( 2 \right) - 3 ; + \infty \left.\right)$.

C.  

$\left( - \infty ; 3 f \left(\right. 1 \right) - 3 \text{ln} 2 \left.\right)$.

D.  

$\left(\right. 3 f \left( 2 \right) ; + \infty \left.\right)$.

Đáp án đúng là: D

(TH):
Cách giải:
Ta có: $f \left( e^{x} + 1 \right) = x + \dfrac{m}{3} \Leftrightarrow f \left( e^{x} + 1 \right) - x = \dfrac{m}{3}$
Xét $g \left( x \right) = f \left( e^{x} + 1 \right) - x \Rightarrow g^{'} \left( x \right) = e^{x} f^{'} \left( e^{x} + 1 \right) - 1$
Ta có: $g^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow e^{x} f^{'} \left( e^{x} + 1 \right) = 1 \Leftrightarrow f^{'} \left( e^{x} + 1 \right) = \dfrac{1}{e^{x}}$
Đặt $e^{x} + 1 = t \left( t > 1 \right) \Rightarrow f^{'} \left( t \right) = \dfrac{1}{t - 1}$
Ta vẽ đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( t \right) , y = \dfrac{1}{t - 1}$ trên cùng một hệ trục tọa độ

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình $f^{'} \left( t \right) = \dfrac{1}{t - 1}$ có nghiệm duy nhất $t = 2$
Ta có bảng xét dấu của $g \left( x \right)$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì $\dfrac{m}{3} > f \left( 2 \right) \Leftrightarrow m > 3 f \left( 2 \right)$