Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$, biết rằng $f \left( 0 \right) = 0$ và hàm số $g \left( x \right) = \dfrac{1}{16} \left[\right. x f^{''} \left( x \right) + f^{'} \left( x \right) \left]\right.$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$, $y = \dfrac{f^{''} \left( x \right) - 40}{12}$ khi quay quanh trục $O x$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A.  

$\left( 116 ; 117 \right)$.

B.  

$\left( 117 ; 118 \right)$.

C.  

$\left( 118 ; 119 \right)$.

D.  

$\left( 115 ; 116 \right)$.

Đáp án đúng là: B

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$, biết rằng $f \left( 0 \right) = 0$ và hàm số $g \left( x \right) = \dfrac{1}{16} \left[\right. x f^{''} \left( x \right) + f^{'} \left( x \right) \left]\right.$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$, $y = \dfrac{f^{''} \left( x \right) - 40}{12}$ khi quay quanh trục $O x$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
A. $\left( 116 ; 117 \right)$. B. $\left( 117 ; 118 \right)$. C. $\left( 118 ; 119 \right)$. D. $\left( 115 ; 116 \right)$.
Lời giải
Từ đồ thị ta thấy được $g \left( x \right) = a \left( x - 1 \right) x \left( x + 1 \right)$, mà đồ thị đi qua điểm $\left( 2 ; 6 \right)$ $\Rightarrow a = 1$ $\Rightarrow g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) x \left( x + 1 \right) = x^{3} - x$.
Đặt $f \left( x \right) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x$ do $f \left( 0 \right) = 0$. Khi đó $f^{'} \left( x \right) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ và $f^{''} \left( x \right) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$.
Ta có $g \left( x \right) = \dfrac{1}{16} \left[\right. x f^{''} \left( x \right) + f^{'} \left( x \right) \left]$
$\Leftrightarrow x^{3} - x = \dfrac{1}{16} \left[\right. x \left(\right. 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \right) + \left( 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \right) \left]\right.$
$\Leftrightarrow 16 x^{3} - 16 x = 16 a x^{3} + 9 b x^{2} + 4 c x + d \Leftrightarrow \left{\right. a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 4 \\ d = 0 \Rightarrow f \left( x \right) = x^{4} - 4 x^{2}$.
$\Rightarrow y = \dfrac{f^{''} \left( x \right) - 40}{12} = \dfrac{12 x^{2} - 8 - 40}{12} = x^{2} - 4$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^{4} - 4 x^{2} = x^{2} - 4 \Leftrightarrow x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ x = \pm 1 \\ x = \pm 2$.
Khi đó $V = \pi \int_{- 2}^{2} \left|\right. \left(\left(\right. x^{4} - 4 x^{2} \right)\right)^{2} - \left(\left( x^{2} - 4 \right)\right)^{2} \left|\right. \text{d} x = \dfrac{112}{3} \pi \approx 117 , 29$(đvtt).