Xét tất cả các số thực $x , y$ sao cho $a^{4 x - \left(\text{log}\right)_{\sqrt{3}} a} \leq 9^{68 - y^{2}}$ với mọi số thực dương $a$. Khi biểu thức $P = 2 x^{2} + 2 y^{2} + x - 4 y$ đạt giá trị lớn nhất thì $2 x + y$ bằng

A.  

−4.

B.  

−14.

C.  

12.

D.  

4.

Đáp án đúng là: A

Ta có $a^{4 x - \left(\text{log}\right)_{\sqrt{3}} a} \leq 9^{68 - y^{2}} \Leftrightarrow a^{4 x - 2 \left(\text{log}\right)_{3} a} \leq 9^{68 - y^{2}} \Leftrightarrow \left( 4 x - 2 \left(\text{log}\right)_{3} a \right) \left(\text{log}\right)_{3} a \leq 2 \left( 68 - y^{2} \right)$
$\Leftrightarrow \text{log}_{3}^{2} a - 2 x \left(\text{log}\right)_{3} a + 68 - y^{2} \geq 0 \text{ } \forall a \text{ } \left( \star \right)$
Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn $\left(\text{log}\right)_{3} a$
Để $\left( * \right)$ đúng với mọi số thực dương $a$ thì
$\left{\right. \left(\Delta\right)^{'} \leq 0 \\ h e s o a = 1 > 0 \Leftrightarrow x^{2} - \left( 68 - y^{2} \right) \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 68 \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 68$
Ta có $\left( x - 4 y \right)^{2} \leq \left[ 1^{2} + \left(\right. - 4 \right)^{2} \left] \left(\right. x^{2} + y^{2} \right) = 17 . 68 \Leftrightarrow \left( x - 4 y \right)^{2} \leq \left(34\right)^{2} \Leftrightarrow - 34 \leq x - 4 y \leq 34$
Suy ra $P = 2 x^{2} + 2 y^{2} + x - 4 y \leq 2 . 68 + 34 = 170$
Vậy $P_{max} = 170 \Leftrightarrow \left{\right. \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{- 4} \\ x - 4 y = 34 \\ x^{2} + y^{2} = 68 \Leftrightarrow \left{\right. x = 2 \\ y = - 8 \Rightarrow 2 x + y = 4 - 8 = - 4$
Suy ra chọn A