Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $z . \bar{z} = \left|\right. z + \bar{z} \left|\right.$. Xét các số phức $z_{1} , z_{2} \in S$sao cho $\left|\right. z_{1} - z_{2} \left|\right. = 1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left|\right. z_{1} - \sqrt{3} i \left|\right. + \left|\right. \left(\bar{z}\right)_{2} + \sqrt{3} i \left|\right.$ bằng

A.  

$2$.

B.  

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{3}}$.

C.  

$2 \sqrt{3}$.

D.  

$1 + \sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $z . \bar{z} = \left|\right. z + \bar{z} \left|\right.$. Xét các số phức $z_{1} , z_{2} \in S$sao cho $\left|\right. z_{1} - z_{2} \left|\right. = 1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left|\right. z_{1} - \sqrt{3} i \left|\right. + \left|\right. \left(\bar{z}\right)_{2} + \sqrt{3} i \left|\right.$ bằng
A. $2$. B. $\sqrt{20 - 8 \sqrt{3}}$. C. $2 \sqrt{3}$. D. $1 + \sqrt{3}$.
Lời giải
Gọi $z = x + y i$
$z . \bar{z} = \left|\right. z + \bar{z} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = \left|\right. 2 x \left|\right.$
Với $x \geq 0$: $\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x$
Với $z_{1} = \dfrac{- 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i \Rightarrow z_{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i$
$P_{min} = \left|\right. z_{1} - \sqrt{3} i \left|\right. + \left|\right. \left(\bar{z}\right)_{2} + \sqrt{3} i \left|\right. = \left|\right. z_{1} - \sqrt{3} i \left|\right. + \left|\right. z_{2} - \sqrt{3} i \left|\right. = 2$