Cho số phức $z$ thoả mãn $\left|\right. \dfrac{\left( 2 - i \right) z - 3 i - 1}{z - i} \left|\right. = 2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $\text{w} = \dfrac{1}{i z + 1}$. Xét các số phức $\left(\text{w}\right)_{1} , \left(\text{w}\right)_{2} \in S$ thỏa mãn $\left|\right. \left(\text{w}\right)_{1} - \left(\text{w}\right)_{2} \left|\right. = 2$, giá trị lớn nhất của $P = \left(\left|\right. \left(\text{w}\right)_{1} - 4 i \left|\right.\right)^{2} - \left(\left|\right. \left(\text{w}\right)_{2} - 4 i \left|\right.\right)^{2}$ bằng.

A.  

$4 \sqrt{29}$.

B.  

$4 \sqrt{13}$.

C.  

$2 \sqrt{13}$.

D.  

$2 \sqrt{29}$.

Đáp án đúng là: B

Chọn B.
+ $\left|\right. \dfrac{\left( 2 - i \right) z - 3 i - 1}{z - i} \left| = 2 \Leftrightarrow \left|\right. 2 - i - \dfrac{i}{z - i} \left|\right. = 2 \Leftrightarrow \left|\right. 2 - i + \dfrac{1}{i z + 1} \left|\right. = 2 \Leftrightarrow \left|\right. \text{w} + 2 - i \left|\right. = 2$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\text{w}$là đường tròn $\left(\right. C \right)$ tâm $I \left( - 2 ; 1 \right)$, bán kính $R = 2$.
+ $\left(\text{w}\right)_{1} , \left(\text{w}\right)_{2} \in S$ được biểu điễn bởi $M , N$ nên $M , N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và $\left| \left(\text{w}\right)_{1} - \left(\text{w}\right)_{2} \left|\right. = M N = 2$. Gọi $A \left(\right. 0 ; 4 \right)$.

$+ \text{ } P = \left(\left| \left(\text{w}\right)_{1} - 4 i \left|\right.\right)^{2} - \left(\left|\right. \left(\text{w}\right)_{2} - 4 i \left|\right.\right)^{2} = M A^{2} - N A^{2} = \left(\overset{\rightarrow}{M A}\right)^{2} - \left(\overset{\rightarrow}{N A}\right)^{2} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{M I} + \overset{\rightarrow}{I A} \right)^{2} - \left( \overset{\rightarrow}{N I} + \overset{\rightarrow}{I A} \right)^{2} \\ \text{ } = M I^{2} + 2 \overset{\rightarrow}{M I} . \overset{\rightarrow}{I A} + I A^{2} - N I^{2} - 2 \overset{\rightarrow}{N I} . \overset{\rightarrow}{I A} - I A^{2} = 2 \overset{\rightarrow}{I A} \left( \overset{\rightarrow}{M I} - \overset{\rightarrow}{N I} \right) = 2 \overset{\rightarrow}{I A} . \overset{\rightarrow}{M N} \\ P = 2 \overset{\rightarrow}{I A} . \overset{\rightarrow}{M N} = 2 I A . M N . cos \left( \overset{\rightarrow}{I A} , \overset{\rightarrow}{M N} \right) \leq 2 I A . M N$
Dấu $' ' = ' '$ xảy ra khi $\overset{\rightarrow}{I A}$ cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{M N}$
Ta có. $I A = \sqrt{13} \Rightarrow P \leq 2 . \sqrt{13} . 2 = 4 \sqrt{13}$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $4 \sqrt{13}$.
Nếu HS nhầm $A \left( 0 ; - 4 \right)$ thì có đáp án là $4 \sqrt{29}$