Cho biểu thức $\sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[5]{8}}} = 2^{\dfrac{m}{n}}$, trong đó $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P = m^{2} + n^{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.  

$P \in \left( 425 ; 430 \right)$

B.  

$P \in \left( 430 ; 435 \right)$

C.  

$P \in \left( 415 ; 420 \right)$

D.  

$P \in \left( 420 ; 425 \right)$

Đáp án đúng là: D

Cho biểu thức $\sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[5]{8}}} = 2^{\dfrac{m}{n}}$, trong đó $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P = m^{2} + n^{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P \in \left( 425 ; 430 \right)$B. $P \in \left( 430 ; 435 \right)$C. $P \in \left( 415 ; 420 \right)$D. $P \in \left( 420 ; 425 \right)$
Lời giải
Ta có $\sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[5]{8}}} = \sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[5]{2^{3}}}} = \sqrt[3]{4 \sqrt{2 . 2^{\dfrac{3}{5}}}} = \sqrt[3]{4 \sqrt{2^{\dfrac{8}{5}}}} = \sqrt[3]{4 . 2^{\dfrac{4}{5}}} = \sqrt[3]{2^{2} . 2^{\dfrac{4}{5}}} = \sqrt[3]{2^{\dfrac{14}{5}}} = 2^{\dfrac{14}{15}}$
Từ đó suy ra $m = 14$, $n = 15$
Vậy $P = \left(14\right)^{2} + \left(15\right)^{2} = 421 \in \left( 420 ; 425 \right)$.