Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm $M$là điểm biểu diễn số phức $z$như hình vẽ sau:

Phần thực của số phức $z$ bằng

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z - 1 + 2 i \left|\right. = 3$. Biết tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $\text{w} = z \left(\right. 1 + i \right)$ trong mặt phẳng tọa độ là một đường tròn. Tìm bán kính $R$ của đường tròn đó.

Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng ngang như Hình 1, Đầu A gắn với vật nhỏ khối lượng m, đầu B tựa vào tường (không gắn vào tường) và được giữ sao cho lò xo bị nén. Khi $t=0$ thì thả nhẹ để hệ chuyển động tự do. Bỏ qua ma sát và khối lượng lò xo. Chọn trục tọa độ $Ox$ dọc theo trục lò xo, chiều dương hướng ra xa, gốc tọa độ O tại vị trí của vật khi lò xo đã tựa vào tường nhưng chưa biến dạng. Đồ thị ở Hình 2 biểu diễn sự phụ thuộc của tọa độ x của vật nhỏ vào thời điểm t. Trên đồ thị, giá trị của $x_0$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho điểm $M \left( 2 ; - 3 ; 1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right) : x + 3 y - z + 2 = 0$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình tham số là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A \left( 1 ; 0 ; 0 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 0 ; - 2 ; 0 \right)$ và $C \left( 0 ; 0 ; 3 \right)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $\left( A B C \right)$?

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : x + y + z = 0$và mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I \left( 0 ; 1 ; 2 \right)$ bán kính $R = 1$. Xét điểm $M$ thay đổi trên $\left( P \right)$. Khối nón có đỉnh $I$ và đường tròn đáy là đường tròn đi qua tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $\left( S \right)$. Khi $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình là $x + a y + b z + c = 0$. Giá trị của $a + b + c$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\right. P \right)$ lần lượt có phương trình $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$, điểm $A \left( 2 ; - 1 ; 3 \right)$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N$ đi qua điểm $B \left( 2 ; m ; n \right)$. Tổng $m + 2 n$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, $C \left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh $A B , A C , A D$ lần lượt tại các điểm $B^{'} , C^{'} , D^{'}$ thỏa mãn $\dfrac{A B}{A B^{'}} + \dfrac{A C}{A C^{'}} + \dfrac{A D}{A D^{'}} = 4$. Biết tứ diện $A B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục hoành tại điểm $M \left( \dfrac{a}{b} ; 0 ; 0 \right) \left( a , b \in \mathbb{Z} ; b \neq 0 \right)$, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a b$.

Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng $d \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ } \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z}{1}$; $d^{'} \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ } \left{ x = \textrm{ }\textrm{ } t \\ y = \textrm{ } 1 + 2 t \\ z = - 1 + \textrm{ }\textrm{ } t$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M \left(\right. 3 ; \textrm{ } 2 ; \textrm{ } 1 \right)$, vuông góc với $d$ và cắt $d^{'}$. Khi đó tọa độ giao điểm của $\Delta$ và mặt phẳng $O y z$ là

Trong không gian $O x y z ,$ cho hai điểm $A \left( 1 ; 2 ; 3 \right) , B \left( 3 ; - 2 ; - 1 \right) .$ Đường thẳng $A B$ cắt mặt phẳng tọa độ $\left( O x y \right)$ tại điểm $E \left( a ; b ; c \right) .$ Tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$