Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết

Biết ${\int }_3^8\frac{dx}{x^2+x}=a\ln 2+b\ln 3$ với a, b, c là các số nguyên. Tính  $S=\sqrt{a^2-b^2}$

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^4-2x^3+1}{x^2}$ và F(3)=-1. Tìm F(-1) 

Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  $y=\sqrt{\tan x},x=0,x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ xung quanh trục Ox.

Nguyên hàm của hàm số  $f\left(x\right)={\tan }^{3}x$ là:

Nguyên hàm F(x) của hàm  $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$ thỏa mãn F(1)=3 là:

Thể tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{1-x^2},y=0,x=0$ khi quay quanh trục Oy là:

Diện tích hình phẳng được giới hạn như hình vẽ được tính bởi công thức nào sau đây ?

Đổi biến số $x=\sqrt{3}\tan t$ của tích phân ${\int }_{\sqrt{3}}^3\frac{1}{x^2+3}dx$, ta được

Hàm số $F\left(x\right)={\log }_2(1+x^2)$ là một nguyên hàm của hàm số

Giải phương trình  ${\int }_0^x(6t^2-3t+2)dt=\frac{1}{2}{x}^2+2$

Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc $a\left(t\right)=t^2+3t(m/s^2)$. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 20s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét ?

Cho đồ thị hàm số f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô màu) là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3+2x+1 \left(C\right)$,tiếp tuyến của đồ thị tại x=1 và đường thẳng x=0 thuộc góc phần tư thứ (I),(IV) là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}, y=-x, x=3$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

Tính giá trị biểu thức $A=\frac{2I+1}{I+3}$ biết $I={\int }_{-2}^1\left|x\right|dx$

Tìm giá trị của a để  $I={\int }_0^a\frac{5x+7}{x^2+3x+2}dx=3\ln 2+2\ln 3$

Số lượng một loại vi khuẩn gây bệnh có trong cơ thể của một người sau thời gian t (ngày) là f(t), trong đó $f\text{'}\left(t\right)=\frac{10000}{3t+1}$. Một người mắc bệnh do vi khuẩn gây ra. Khi đi khám lần thứ nhất, trong cơ thể của người này có 1000 con vi khuẩn nhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh. Biết rằng nếu trong cơ thể người đó có trên 12000 con vi khuẩn thì người này sẽ ở tình trạng nguy hiểm. Hỏi sau 10 ngày người đó đi khám lại thì trong cơ thể của họ có đang trong tình trạng nguy hiểm không, nếu có thì số lượng vi khuẩn vượt ngưỡng an toàn là bao nhiêu con?

Tính tích phân  $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\cos xdx$

Cho ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)dx=1; {\int }_3^{0}f\left(x\right)dx=-2$. Tính  ${\int }_0^{-1}f\left(x\right)dx+{\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)dx$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{e}^x$, trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1

Cho hàm số f(x) = 2mx + lnx. Tìm m để nguyên âm F(x) của f(x) thỏa mãn F(1) = 0 và F(2) = 2 +2ln2 

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\frac{1}{3-2x}$. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chọn đáp án đúng

Gọi D là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{\cos x}, y=0, x=0 và x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành

Cho  $I={\int }_0^{{}_a^{\mathrm{\pi }}}\frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}dx$, với giá trị nguyên nào của a thì  $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{a}}\frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}dx=\ln 2$?

Nguyên hàm của hàm số  $y=50x.e^{\frac{x}{2}}$trên tập các số thực là

Một nhà khí tượng học ước tính rằng sau t giờ kể từ 0h đêm, nhiệt độ của thành phố Hà Nội được cho bởi hàm $C\left(t\right)=39-\frac{3}{4}{(t-10)}^2{(}^{o}C)$ $với 0\le t\le 24$. Nhiệt độ của thành phố từ 6h sáng đến 18h chiều là

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ và f(1)=1 thì f(5) có giá trị là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  $y=4x-x^2$ và  $y=x^3-4$.

Cho a,b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol $y=a{x}^2$ và đường thẳng y=-bx . Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc và giá trị của a và b nếu a và b thỏa mãn điều kiện sau:

Một vật chuyển động theo quy luật s $\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3+12t^2+1$ trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động, 8 (mét) là quãng đường vật chuyển động được trong t giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t=10 (giây).