Biết $F \left( x \right)$ và $G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int_{0}^{4} f \left( x \right) = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m \left( m > 0 \right)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F \left( x \right) , y = G \left( x \right) , x = 0$ và $x = 4$. Khi $S = 8$ thì $m$ bằng:

A.  

$4$

B.  

$1$

C.  

$3$

D.  

$2$

Đáp án đúng là: B

Biết $F \left( x \right)$ và $G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int_{0}^{4} f \left( x \right) = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m \left( m > 0 \right)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F \left( x \right) , y = G \left( x \right) , x = 0$ và $x = 4$. Khi $S = 8$ thì $m$ bằng:
A. $4$B. $1$C. $3$D. $2$
Lời giải
Vì $F \left( x \right)$ và $G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ nên giả sử trên $\mathbb{R}$, ta có: $G \left( x \right) = F \left( x \right) + C$ suy ra $G \left( 0 \right) = F \left( 0 \right) + C$
$\int_{0}^{4} f \left( x \right) \text{d} x = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m \Leftrightarrow F \left( 4 \right) - F \left( 0 \right) = F \left( 4 \right) - F \left( 0 \right) - C + 2 m \Leftrightarrow C = 2 m$
Vậy $G \left( x \right) = F \left( x \right) + 2 m$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $S = \int_{0}^{4} \left|\right. F \left( x \right) - G \left( x \right) \left|\right. \text{d} x = \int_{0}^{4} 2 m \text{d} x = \left( 2 m x \left|\right.\right)_{0}^{4} = 8 m$,
Mà $S = 8$ nên $m = 1$.