Biết $F \left( x \right)$ và $G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int_{0}^{4} f \left( x \right) \text{d} x = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m$, với $m > 0$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F \left( x \right)$, $y = G \left( x \right)$; $x = 0$ và $x = 4$. Khi $S = 8$ thì $m$ bằng

A.  

$1$.

B.  

$2$.

C.  

$3$.

D.  

$4$.

Đáp án đúng là: A

Biết $F \left( x \right)$ và $G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int_{0}^{4} f \left( x \right) \text{d} x = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m$, với $m > 0$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F \left( x \right)$, $y = G \left( x \right)$; $x = 0$ và $x = 4$. Khi $S = 8$ thì $m$ bằng
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
Theo đề ta có $\int_{0}^{4} f \left( x \right) \text{d} x = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m \Rightarrow F \left( x \right) \left|\right. _{0}^{4} = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m$
$\Rightarrow F \left( 4 \right) - F \left( 0 \right) = F \left( 4 \right) - G \left( 0 \right) + 2 m \Rightarrow G \left( 0 \right) - F \left( 0 \right) = 2 m$. $\left( 1 \right)$
Mặt khác, do $F \left( x \right)$ và $G \left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên ta có $G \left( x \right) - F \left( x \right) = C$ (không đổi) với mọi $x \in \mathbb{R}$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $G \left( x \right) - F \left( x \right) = 2 m > 0$, với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Khi đó ta có $S = \int_{0}^{4} \left|\right. G \left( x \right) - F \left( x \right) \left| \text{d} x = \int_{0}^{4} \text{2} m . \text{d} x = 2 m x \left|\right. _{0}^{4} = 8 m$.
Theo đề ta có $8 m = 8 \Leftrightarrow m = 1$.