Cho hai hàm số $y = x^{4} - 6 x^{3} + 5 x^{2} + 11 x - 6$ và $y = x \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( m - \left|\right. x \left|\right. \right)$có đồ thị lần lượt là $\left( C_{1} \right) , \textrm{ } \left( C_{2} \right)$. Tổng tất cả các giá trị $m$ nguyên thuộc đoạn $\left[\right. - 2023 ; 2023 \left]\right.$ để $\left( C_{1} \right)$ cắt $\left( C_{2} \right)$ tại 4 điểm phân biệt là

A.  

$8187081$.

B.  

$2047276$.

C.  

$2047275$.

D.  

$8187080$.

Đáp án đúng là: B

Cho hai hàm số $y = x^{4} - 6 x^{3} + 5 x^{2} + 11 x - 6$ và $y = x \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( m - \left|\right. x \left|\right. \right)$có đồ thị lần lượt là $\left( C_{1} \right) , \textrm{ } \left( C_{2} \right)$. Tổng tất cả các giá trị $m$ nguyên thuộc đoạn $\left[\right. - 2023 ; 2023 \left]\right.$ để $\left( C_{1} \right)$ cắt $\left( C_{2} \right)$ tại 4 điểm phân biệt là
A. $8187081$. B. $2047276$. C. $2047275$. D. $8187080$.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C_{1} \right)$ và $\left( C_{2} \right)$ là:
$x^{4} - 6 x^{3} + 5 x^{2} + 11 x - 6 = x \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( m - \left|\right. x \left|\right. \right)$ $\left( \star \right)$
Nhận xét: $x = 0 ; \textrm{ } x = 2 ; \textrm{ } x = 3$ không là nghiệm của phương trình $\left( \star \right)$.
Khi đó: $\left( \star \right) \Leftrightarrow m - \left|\right. x \left|\right. = \dfrac{x^{4} - 6 x^{3} + 5 x^{2} + 11 x - 6}{x \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right)} \Leftrightarrow m = \left|\right. x \left|\right. + x - 1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{x - 3}$.
Xét hàm số $g \left( x \right) = \left| x \left|\right. + x - 1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{x - 3}$ trên tập $D = \mathbb{R} \left{\right. 0 ; \textrm{ } 2 ; \textrm{ } 3 \right}$.
Ta có: $g^{'} \left( x \right) = \dfrac{x}{\left| x \left|\right.} + 1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{2}{\left(\left(\right. x + 2 \right)\right)^{2}} + \dfrac{3}{\left(\left( x - 3 \right)\right)^{2}} > 0 , \textrm{ } \forall x \in D$.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình $\left( \star \right)$ có 4 nghiệm phân biệt thì $m > - 1$.
Mà $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ - 2023 ; 2023 \left]\right.$ nên suy ra $m \in \left{\right. 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . . . . ; 2023 \right}$.
Tổng tất cả các giá trị của $m$ là $0 + 1 + 2 + 3 + . . . . . + 2023 = 2047276$.