Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x ; \textrm{ } y \right)$ với $1 \leq x , y \leq 2023$ và thoả mãn $\left( 2 x + 4 y - x y - 8 \right) \left(log\right)_{2} \left( \dfrac{2 x - 1}{x - 4} \right) \geq \left( x y + 2 x + 3 y + 6 \right) \left(log\right)_{3} \left( \dfrac{2 y}{y + 2} \right)$?

A.  

2019.

B.  

2020.

C.  

4038.

D.  

2023.

Đáp án đúng là: C

Vì $x , y \in \mathbb{N}$ và $1 \leq x , y \leq 2023$ nên $2 x - 1 > 0 \Rightarrow$điều kiện $x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4$.
Từ giả thiết trở thành $\left( x - 4 \right) \left( 2 - y \right) \left(log\right)_{2} \left( \dfrac{2 x - 1}{x - 4} \right) \geq \left( y + 2 \right) \left( x + 3 \right) \left(log\right)_{3} \left( \dfrac{2 y}{y + 2} \right)$.
+ Ta thấy hàm số $f \left( x \right) = \dfrac{2 x - 1}{x - 4}$ luôn nghịch biến trên $\left( 4 ; + \infty \right)$ vì $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{- 7}{\left( x - 4 \right)^{2}}$
Do đó $f \left( x \right) > 2 \Rightarrow \left(log\right)_{2} f \left( x \right) > 1 , \forall x \in \left( 4 ; + \infty \right)$.
+ Ta thấy hàm số $g \left( y \right) = \dfrac{2 y}{y + 2}$ luôn đồng trên $\left( 0 ; + \infty \right)$ vì $g^{'} \left( y \right) = \dfrac{4}{\left( y + 2 \right)^{2}}$.
+ TH 1: Nếu $y = 1$ thì $\left(log\right)_{3} \left( \dfrac{2 y}{y + 2} \right) < 0 \Rightarrow V P < 0$. Khi đó $V T \geq V P$
$\Rightarrow x = 5 ; 6 ; 7 ; . . . ; 2023 \Rightarrow$có 2019 số
+TH 2: Nếu $y = 2$ thì $\left(log\right)_{3} \left( \dfrac{2 y}{y + 2} \right) = 0 \Rightarrow V P = 0$; $V T = 0$ nên $\Rightarrow x = 5 ; 6 ; 7 ; . . . ; 2023 \Rightarrow$có 2019 số.
+ TH 3: Nếu $y > 2 \Leftrightarrow 2 - y < 0$ thì $\left(log\right)_{3} \left( \dfrac{2 y}{y + 2} \right) > 0 \Rightarrow V P > 0$; $V T < 0$ nên bất phương trình vô nghiệm.
Vậy có 4038 cặp số $\left( x ; \textrm{ } y \right)$ thoả mãn.