Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x \textrm{ } ; \textrm{ } y \right)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 2023$ và $\left(log\right)_{2} \left( 2 x + 2 \right) + x = 2 y + 4^{y} ?$

A.  

$2022$.

B.  

$6$.

C.  

$2023$.

D.  

$4$.

Đáp án đúng là: B

Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x \textrm{ } ; \textrm{ } y \right)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 2023$ và $\left(log\right)_{2} \left( 2 x + 2 \right) + x = 2 y + 4^{y} ?$
A. $2022$. B. $6$. C. $2023$. D. $4$.
Lời giải
$\left(log\right)_{2} \left( 2 x + 2 \right) + x = 2 y + 4^{y}$ $\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} 2 \left( x + 1 \right) + x = 2 y + 2^{2 y}$ $\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) + x + 1 - 2 y + 2^{2 y}$
Xét $f \left( t \right) = t + 2^{t}$ với $t \in \mathbb{R}$. Ta có $f^{'} \left( t \right) = 1 + 2^{t} . ln2 > 0 \textrm{ } \forall t \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow f \left( t \right)$đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\left( \star \right) \Leftrightarrow f \left[\right. \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) \left] = f \left(\right. 2 y \right)$ $\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) = 2 y \Leftrightarrow x + 1 = 2^{2 y} \Leftrightarrow x = 4^{y} - 1$
Vì $0 \leq x \leq 2023 \Leftrightarrow 0 \leq 4^{y} - 1 \leq 2023$ $\Leftrightarrow 1 \leq 4^{y} \leq 2024 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \left(log\right)_{4} 2024 \approx 5 , 49$
$\Rightarrow y \in \left{ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \right}$. Với mỗi giá trị của y thì có duy nhất 1 giá trị của x.
Vậy có 6 cặp số nguyên $\left( x \textrm{ } ; \textrm{ } y \right)$ thỏa mãn đề bài.