Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 4000$ và $5 \left( \left(25\right)^{y} + 2 y \right) = x + \left(log\right)_{5} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{5} - 4$?

A.  

$5$.

B.  

$2$.

C.  

$4$.

D.  

$3$.

Đáp án đúng là: D

Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 4000$ và $5 \left( \left(25\right)^{y} + 2 y \right) = x + \left(log\right)_{5} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{5} - 4$?
A. $5$. B. $2$. C. $4$. D. $3$.
Lời giải
Ta có: $5 \left( \left(25\right)^{y} + 2 y \right) = x + \left(log\right)_{5} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{5} - 4 \Leftrightarrow \left(5log\right)_{5} \left( x + 1 \right) + x + 1 = 5^{2 y + 1} + 5 \left( 2 y + 1 \right)$. $\left( 1 \right)$
Đặt $\left(log\right)_{5} \left( x + 1 \right) = t \Rightarrow x + 1 = 5^{t}$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $5 t + 5^{t} = 5 \left( 2 y + 1 \right) + \left(5^{2}\right)^{y + 1}$ $\left( 2 \right)$
Xét hàm số $f \left( u \right) = 5 u + 5^{u}$ trên $\mathbb{R}$.
$f^{'} \left( u \right) = 5 + 5^{u} ln5 > 0 \textrm{ } , \textrm{ } \forall u \in \mathbb{R}$ nên hàm số $f \left( u \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left( 2 \right) \Leftrightarrow f \left( t \right) = f \left( 2 y + 1 \right) \Leftrightarrow t = 2 y + 1$ $\Rightarrow \left(log\right)_{5} \left( x + 1 \right) = 2 y + 1 \Leftrightarrow x + 1 = 5^{2 y + 1} \Leftrightarrow x = 5 . \left(25\right)^{y} - 1$
Vì $0 \leq x \leq 4000 \Rightarrow 0 \leq 5 . \left(25\right)^{y} - 1 \leq 4000 \Leftrightarrow \dfrac{1}{5} \leq \left(25\right)^{y} \leq \dfrac{4001}{5} \Leftrightarrow \dfrac{- 1}{2} \leq y \leq \left(log\right)_{25} \dfrac{4001}{5} \approx 2 . 08$
Do $y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left{ 0 \textrm{ } , \textrm{ } 1 \textrm{ } , \textrm{ } 2 \textrm{ } \right}$, có 3 giá trị của y nên cũng có 3 giá trị của $x$
Vậy có 3 cặp số nguyên $\left( x \textrm{ } ; \textrm{ } y \right)$.