Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x , y \right)$ thoả mãn $5^{y + 1} + y - \left(log\right)_{5} \left( x + 2 \right) \leq \dfrac{x - 8}{5}$ và $x < 2023$?

A.  

$3302$.

B.  

$3296$.

C.  

$3300$.

D.  

$3298$.

Đáp án đúng là: C

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x , y \right)$ thoả mãn $5^{y + 1} + y - \left(log\right)_{5} \left( x + 2 \right) \leq \dfrac{x - 8}{5}$ và $x < 2023$?
A. $3302$. B. $3296$. C. $3300$. D. $3298$.
Lời giải
Ta có: $5^{y + 1} + y - \left(log\right)_{5} \left( x + 2 \right) \leq \dfrac{x - 8}{5} \Leftrightarrow 5^{y + 2} + 5 y - \left(5log\right)_{5} \left( x + 2 \right) \leq x - 8$
$\Leftrightarrow 5^{y + 2} + 5 \left( y + 2 \right) \leq 5^{t} + 5 t$ với $t = \left(log\right)_{5} \left( x + 2 \right)$
$\Leftrightarrow y + 2 \leq t$ (vì hàm số $f \left( u \right) = 5^{u} + 5 u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$)
$\Leftrightarrow y + 2 \leq \left(log\right)_{5} \left( x + 2 \right)$.
Do $x < 2023 \Rightarrow y + 2 < \left(log\right)_{5} 2025 \Rightarrow y < 2 , 8$ mà $y \in \left(\mathbb{Z}\right)^{+} \Rightarrow y \in \left{ 1 ; 2 \right}$.
- Nếu $y = 1$ ta có: $\left(log\right)_{5} \left( x + 2 \right) \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 123$ mà $x \in \left(\mathbb{Z}\right)^{+} , \textrm{ }\textrm{ } x < 2023 \Rightarrow x \in \left{ 123 ; \textrm{ } 124 ; \textrm{ } . . . ; 2022 \right}$
Trường hợp này có $1900$ cặp số nguyên dương $\left( x , y \right)$ thoả mãn.
- Nếu $y = 2$ ta có: $\left(log\right)_{5} \left( x + 2 \right) \geq 4 \Leftrightarrow x \geq 623$ mà $x \in \left(\mathbb{Z}\right)^{+} , \textrm{ }\textrm{ } x < 2023 \Rightarrow x \in \left{ 623 ; \textrm{ } 624 ; \textrm{ } . . . ; 2022 \right}$
Trường hợp này có $1400$ cặp số nguyên dương $\left( x , y \right)$ thoả mãn.
Vậy có tất cả $1900 + 1400 = 3300$ cặp số nguyên dương $\left( x , y \right)$ thoả mãn.