Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #7586

Cho hàm số

Hình ảnh

luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (1;+∞)\left( 1 ; + \infty \right) đồng thời thỏa mãn điều kiện

Hình ảnh

và ([f′(x)])2+f(x)[f′′(x)−f′(x)x]=x(2x+1)\left(\left[\right. f^{'} \left( x \right) \left]\right.\right)^{2} + f \left( x \right) \left[\right. f^{''} \left( x \right) - \dfrac{f^{'} \left( x \right)}{x} \left] = x \left(\right. 2 x + 1 \right). Tính giá trị

Hình ảnh

.

A.  

.

B.  

.

C.  

.

D.  

.

Đáp án đúng là: D

Cho hàm số

luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (1;+∞)\left( 1 ; + \infty \right) đồng thời thỏa mãn các điều kiện

và ([f′(x)])2+f(x)[f′′(x)−f′(x)x]=x(2x+1)\left(\left[\right. f^{'} \left( x \right) \left]\right.\right)^{2} + f \left( x \right) \left[\right. f^{''} \left( x \right) - \dfrac{f^{'} \left( x \right)}{x} \left] = x \left(\right. 2 x + 1 \right). Tính giá trị

.
A.

. B.

. C.

. D.

.
Lời giải
Theo bài ra ta có:



⇒([f(x).f′(x)])′x−f(x).f′(x)x2=2x+1\Rightarrow \dfrac{\left(\left[\right. f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) \left]\right.\right)^{'} x - f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right)}{x^{2}} = 2 x + 1
⇒f(x)f′(x)x=x2+x+C\Rightarrow \dfrac{f \left( x \right) f^{'} \left( x \right)}{x} = x^{2} + x + C.
Do f(1)=f′(1)=2⇒C=2f \left( 1 \right) = f^{'} \left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C = 2 ⇒f(x).f′(x)=x3+x2+2x\Rightarrow f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) = x^{3} + x^{2} + 2 x.
Suy ra ∫12f(x).f′(x)dx=∫12(x3+x2+2x)dx\int_{1}^{2} f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) d x = \int_{1}^{2} \left( x^{3} + x^{2} + 2 x \right) d x ⇒f2(x)2∣21=10912\Rightarrow \dfrac{f^{2} \left( x \right)}{2} \left|\right. ^{2} \\ _{1} = \dfrac{109}{12}

( Do f(x)f \left( x \right) luôn nhận giá trị dương trên khoảng .


 

Câu hỏi tương tự:

#7828 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right)liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng (−1;+∞)\left( - 1 ; + \infty \right), có đạo hàm liên
tục, dương trên khoảng (−1;+∞)\left( - 1 ; + \infty \right), thỏa mãn f(0)=4f \left( 0 \right) = 4 và
(f′(x))2=f(x).4(x+1)2(x2+2x+2), ∀x∈(−1;+∞)\left(\right. f^{'} \left( x \right) \left.\right)^{2} = f \left( x \right) . \dfrac{4}{\left( x + 1 \right)^{2} \left( x^{2} + 2 x + 2 \right)} , \text{ } \forall x \in \left( - 1 ; + \infty \right). Khi đó f(3−1)f \left( \sqrt{3} - 1 \right) thuộc khoảng nào sau đây?

Lượt xem: 133,106 Cập nhật lúc: 21:02 21/11/2024

#7522 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số bậc ba y=f(x)y = f \left( x \right) có đồ thị là đường cong đậm trong hình vẽ và đồ thị hàm số g(x)=f(ax2+bx+c)g \left( x \right) = f \left( a x^{2} + b x + c \right) với a,b,c∈Qa , b , c \in \mathbb{Q} có đồ thị là đường cong mảnh như hình vẽ. Đồ thị hàm số y=g(x)y = g \left( x \right) có trục đối xứng là đường thẳng x=−12x = - \dfrac{1}{2}. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x)g \left( x \right)trên đoạn [−2;2]\left[\right. - 2 ; 2 \left]\right..


Lượt xem: 127,915 Cập nhật lúc: 05:42 19/11/2024

#7567 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=x+1x−1y = \dfrac{x + 1}{x - 1} có đồ thị (C)\left( C \right). Gọi AA, BB là hai điểm thuộc hai nhánh của (C)\left( C \right) và các tuyến tiếp của (C)\left( C \right) tại AA, BB cắt các đường tiệm cận ngang và đứng của (C)\left( C \right) lần lượt tại các điểm MM, NN, PP, QQ. Diện tích tứ giác MNPQM N P Q có giá trị nhỏ nhất bằng?

Lượt xem: 128,674 Cập nhật lúc: 16:35 21/11/2024

#8358 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right) có đạo hàm liên tục trên R\mathbb{R} và có đồ thị hàm số y=f′(1+2x)y = f^{'} \left( 1 + 2 x \right) như hình vẽ



Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số có 3 điểm cực trị dương?

Lượt xem: 142,147 Cập nhật lúc: 23:17 21/11/2024

#8817 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số bậc năm y=f(x)y = f \left( x \right) và đồ thị hàm số y=f′(x)y = f^{'} \left( x \right) là đường cong trong hình vẽ dưới đây



Xét hàm số g(x)=3f(−x3−x+m+3)+(x3+x−m−3)(x3+x−m)2,mg \left( x \right) = 3 f \left( - x^{3} - x + m + 3 \right) + \left( x^{3} + x - m - 3 \right) \left( x^{3} + x - m \right)^{2} , m là tham số. Số giá trị nguyên của mm thuộc nửa khoảng (−100;100]\left(\right. - 100 ; 100 \left]\right. để hàm số g(x)g \left( x \right) đồng biến trên khoảng (0;3)\left( 0 ; 3 \right) là

Lượt xem: 150,001 Cập nhật lúc: 03:06 22/11/2024

#7856 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right) liên tục trên đoạn [0;6]\left[\right. 0 ; 6 \left]\right. và có bảng biến thiên như hình sau:



Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mm để bất phương trình mf2(x)+m+15x≤2024f2(x)−540−6x+3f(x)+2023m f^{2} \left( x \right) + m + 15 \sqrt{\textit{x}} \leq 2024 f^{2} \left( x \right) - 5 \sqrt{40 - 6 \textit{x}} + 3 f \left( x \right) + 2023 nghiệm đúng với mọi x∈[0;6].\textit{x} \in \left[\right. 0 ; 6 \left]\right. .

Lượt xem: 133,626 Cập nhật lúc: 03:47 22/11/2024

#8798 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right) có đạo hàm f′(x)f^{'} \left( x \right). Hàm số y=f′(x)y = f^{'} \left( x \right) liên tục trên tập số thực R\mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ.



Biết f(−1)=52,f(3)=8f \left( - 1 \right) = \dfrac{5}{2} , f \left( 3 \right) = 8. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x)=f3(x)−3f(x)g \left( x \right) = f^{3} \left( x \right) - 3 f \left( x \right) trên [−1;3]\left[\right. - 1 ; 3 \left]\right. bằng

Lượt xem: 149,599 Cập nhật lúc: 00:01 05/11/2024

#7868 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) có đạo hàm trên R\mathbb{R}, đồng thời thỏa mãn xf(x)=x2+1(1−f′(x)x2+1)x f \left( x \right) = \sqrt{x^{2} + 1} \left(\right. 1 - f^{'} \left( x \right) \sqrt{x^{2} + 1} \left.\right) và f(0)=1f \left( 0 \right) = 1. Tính giá trị của f(1)f \left( 1 \right).

Lượt xem: 133,785 Cập nhật lúc: 00:02 05/11/2024

#7691 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) có đạo hàm xác định trên R\mathbb{R} thỏa mãn f(0)=22f \left( 0 \right) = 2 \sqrt{2}, f(x)>0f \left( x \right) > 0 và f(x).f′(x)=(2x+1)1+f2(x) , ∀x∈Rf \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) = \left( 2 x + 1 \right) \sqrt{1 + f^{2} \left( x \right)} \textrm{ } , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}. Giá trị f(2)f \left( 2 \right) là

Lượt xem: 130,780 Cập nhật lúc: 05:48 19/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - THPT THUẬN-THÀNH-BẮC-NINHTHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

597 lượt xem 280 lượt làm bài