Cho hàm số

luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (1;+)\left( 1 ; + \infty \right) đồng thời thỏa mãn điều kiện

([f(x)])2+f(x)[f(x)f(x)x]=x(2x+1)\left(\left[\right. f^{'} \left( x \right) \left]\right.\right)^{2} + f \left( x \right) \left[\right. f^{''} \left( x \right) - \dfrac{f^{'} \left( x \right)}{x} \left] = x \left(\right. 2 x + 1 \right). Tính giá trị

.

A.  

.

B.  

.

C.  

.

D.  

.

Đáp án đúng là: D

Cho hàm số

luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (1;+)\left( 1 ; + \infty \right) đồng thời thỏa mãn các điều kiện

([f(x)])2+f(x)[f(x)f(x)x]=x(2x+1)\left(\left[\right. f^{'} \left( x \right) \left]\right.\right)^{2} + f \left( x \right) \left[\right. f^{''} \left( x \right) - \dfrac{f^{'} \left( x \right)}{x} \left] = x \left(\right. 2 x + 1 \right). Tính giá trị

.
A.

. B.

. C.

. D.

.
Lời giải
Theo bài ra ta có:



([f(x).f(x)])xf(x).f(x)x2=2x+1\Rightarrow \dfrac{\left(\left[\right. f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) \left]\right.\right)^{'} x - f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right)}{x^{2}} = 2 x + 1
f(x)f(x)x=x2+x+C\Rightarrow \dfrac{f \left( x \right) f^{'} \left( x \right)}{x} = x^{2} + x + C.
Do f(1)=f(1)=2C=2f \left( 1 \right) = f^{'} \left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C = 2 f(x).f(x)=x3+x2+2x\Rightarrow f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) = x^{3} + x^{2} + 2 x.
Suy ra 12f(x).f(x)dx=12(x3+x2+2x)dx\int_{1}^{2} f \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) d x = \int_{1}^{2} \left( x^{3} + x^{2} + 2 x \right) d x f2(x)221=10912\Rightarrow \dfrac{f^{2} \left( x \right)}{2} \left|\right. ^{2} \\ _{1} = \dfrac{109}{12}

( Do f(x)f \left( x \right) luôn nhận giá trị dương trên khoảng .


 

Câu hỏi tương tự:


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - THPT THUẬN-THÀNH-BẮC-NINHTHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

591 lượt xem 280 lượt làm bài