Cho hàm số $f \left( x \right) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + a$ có đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ như hình vẽ bên

Hàm số $y = g \left( x \right) = f \left( 1 - 2 x \right) f \left( 2 - x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  

$\left( 0 ; 2 \right)$.

B.  

$\left( 3 ; + \infty \right)$.

C.  

$\left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{2} \right)$.

D.  

$\left( - \infty ; 0 \right)$.

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị hàm số $f^{'} \left( x \right)$ ta thấy: $f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 0 \\ x = \pm 1$
Nên $f^{'} \left( x \right) = 4 a x . \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right)$, hay $f^{'} \left( x \right) = 4 a x \left( x^{2} - 1 \right)$.
Suy ra: $f \left( x \right) = a . x^{4} - 2 a . x^{2} + a = a . \left(\left( x^{2} - 1 \right)\right)^{2} = a . \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} . \left(\left( x + 1 \right)\right)^{2}$.
Xét $g \left( x \right) = f \left( 1 - 2 x \right) f \left( 2 - x \right)$ có: $g^{'} \left( x \right) = - 2 f^{'} \left( 1 - 2 x \right) f \left( 2 - x \right) - f \left( 1 - 2 x \right) f^{'} \left( 2 - x \right)$
Suy ra: $g^{'} \left( x \right) = - 2 . 4 a \left( 1 - 2 x \right) \left[\right. \left(\left( 1 - 2 x \right)\right)^{2} - 1 \left] a \left(\left(\right. 1 - x \right)\right)^{2} . \left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} - a . \left(\left( - 2 x \right)\right)^{2} . \left(\left( 2 - 2 x \right)\right)^{2} . 4 a \left( 2 - x \right) . \left[\right. \left(\left( 2 - x \right)\right)^{2} - 1 \left]\right.$ $= 32 a^{2} x . \left( 1 - 2 x \right) \left(\left( 1 - x \right)\right)^{3} \left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} - 64 a^{2} x^{2} . \left( 2 - x \right) \left(\left( 1 - x \right)\right)^{3} \left( 3 - x \right)$
$= 32 a^{2} x . \left(\left( 1 - x \right)\right)^{3} \left( 3 - x \right) \left[\right. \left( 1 - 2 x \right) \left( 3 - x \right) - 2 x \left( 2 - x \right) \left]\right.$
$= 32 a^{2} x . \left(\left( 1 - x \right)\right)^{3} \left( 3 - x \right) \left( 4 x^{2} - 11 x + 3 \right)$
$g^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ x = \dfrac{11 - \sqrt{73}}{8} = a \in \left(\right. 0 ; 1 \right) \\ x = 1 \\ x = \dfrac{11 + \sqrt{73}}{8} = b \in \left( 2 ; 3 \right) \\ x = 3$
Vì $f^{'} \left( x \right) = 4 a x \left( x^{2} - 1 \right)$ nên dựa vào đồ thị hàm số $f^{'} \left( x \right)$ suy ra $a > 0$
Nhận xét: $g^{'} \left( - 1 \right) = 32 a^{2} \left( - 1 \right) . \left(\left( 2 \right)\right)^{3} . \left( 4 \right) . \left( 4 + 11 + 3 \right) < 0$
Nên ta có bảng xét dấu: