Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f \left( 5 \right) = 1$ và $\int_{0}^{1} x \textrm{ } f \left( 5 x \right) \text{d} x = 1$, khi đó $\int_{0}^{5} x^{2} f^{'} \left( x \right) d x$ bằng

A.  

$- 25$.

B.  

$23$.

C.  

$15$.

D.  

$\dfrac{123}{5}$.

Đáp án đúng là: A

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f \left( 5 \right) = 1$ và $\int_{0}^{1} x \textrm{ } f \left( 5 x \right) \text{d} x = 1$, khi đó $\int_{0}^{5} x^{2} f^{'} \left( x \right) d x$ bằng
A. $- 25$. B. $23$. C. $15$. D. $\dfrac{123}{5}$.
Lời giải
Ta có $\int_{0}^{1} x f \left( 5 x \right) \text{d} x = 1$
Đặt $u = 5 x \Rightarrow \text{d} u = 5 \text{d} x$
Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u = 0$
$x = 1 \Rightarrow u = 5$.
Ta được $\int_{0}^{1} x f \left( 5 x \right) \text{d} x = 1$ $\Rightarrow \int_{0}^{5} \dfrac{u}{5} f \left( u \right) \dfrac{\text{d} u}{5} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{25} \int_{0}^{5} u f \left( u \right) \text{d} u = 1$ $\Leftrightarrow \int_{0}^{5} u f \left( u \right) \text{d} u = 25$.
Suy ra $\int_{0}^{5} x f \left( x \right) \text{d} x = 25$.
Gọi $I = \int_{0}^{5} x^{2} f^{'} \left( x \right) \text{d} x$
Đặt $\left{\right. u = x^{2} \\ \text{d} v = f^{'} \left( x \right) \text{d} x \Rightarrow \left{\right. \text{d} u = 2 x \text{d} x \\ v = f \left( x \right)$.
$I = x^{2} f \left( x \right) \left|\right. 5 \\ 0 - \int_{0}^{5} f \left( x \right) . 2 x \text{d} x$ $= 25 f \left( 5 \right) - 2 \int_{0}^{5} x f \left( x \right) \text{d} x$ $= 25 - 2 . 25 = - 25$.
-------HẾT------