Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$và thỏa mãn $2 f \left( x \right) + f \left( 1 - x \right) = 3 x^{2} - 6 , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f \left( x \right)$ và $y = f^{'} \left( x \right)$ và $\dfrac{a}{b} . \sqrt{5}$( với $a \textrm{ } , b \textrm{ } \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị của hiệu $a - b$ bằng

A.  

$- 20$.

B.  

$20$.

C.  

$23$.

D.  

$17$

Đáp án đúng là: D

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$và thỏa mãn $2 f \left( x \right) + f \left( 1 - x \right) = 3 x^{2} - 6 , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f \left( x \right)$ và $y = f^{'} \left( x \right)$ và $\dfrac{a}{b} . \sqrt{5}$( với $a \textrm{ } , b \textrm{ } \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị của hiệu $a - b$ bằng
A. $- 20$. B. $20$. C. $23$. D. $17$
Lời giải
Ta có $\left{\right. 2 f \left( x \right) + f \left( 1 - x \right) = 3 x^{2} - 6 \\ 2 f \left( 1 - x \right) + f \left( x \right) = 3 \left(\left( 1 - x \right)\right)^{2} - 6 \Leftrightarrow \left{\right. 4 f \left( x \right) + 2 f \left( 1 - x \right) = 6 x^{2} - 12 \\ 2 f \left( 1 - x \right) + f \left( x \right) = 3 x^{2} - 6 x - 3$.
$\Rightarrow 3 f \left( x \right) = 3 x^{2} + 6 x - 9 \Rightarrow f \left( x \right) = x^{2} + 2 x - 3 \Rightarrow f^{'} \left( x \right) = 2 x + 2$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} + 2 x - 3 = 2 x + 2$ $\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{5}$
$\Rightarrow S = \int_{- \sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \left| x^{2} - 5 \left|\right. \text{d} x = \dfrac{20 \sqrt{5}}{3} \Rightarrow a - b = 20 - 3 = 17$.