Gọi $\left( D \right)$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong $y = f \left( x \right) = a x^{2} + b x + c$ và $y = g \left( x \right) = - x^{2} + m x + n$. Biết $S_{\left( D \right)} = 9$ và đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có đỉnh $I \left( 0 ; 2 \right)$. Khi cho miền được giới hạn bởi hai đường cong trên và hai đường thẳng $x = - 1 ; \textrm{ } x = 2$ quay quanh trục $O x$, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích $V$. Giá trị của $V$ bằng:

A.  

$\dfrac{295 \pi}{15}$.

B.  

$\dfrac{295 \pi}{19}$.

C.  

$\dfrac{259 \pi}{19}$.

D.  

$\dfrac{259 \pi}{15}$.

Đáp án đúng là: D

Parabol $y = g \left( x \right)$ có đỉnh $I \left( 0 ; 2 \right)$ suy ra $m = 0 ; \textrm{ }\textrm{ } n = 2 \Rightarrow y = g \left( x \right) = - x^{2} + 2$
Phương trình hoành độ giao điểm của $y = f \left( x \right)$ và $y = g \left( x \right)$:
$a x^{2} + b x + c = - x^{2} + 2 \Leftrightarrow \left( a + 1 \right) x^{2} + b x + c - 2 = 0$. $\left( 1 \right)$
Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình hoành độ giao điểm của $y = f \left( x \right)$ và $y = g \left( x \right)$ cũng có dạng là $\left( a + 1 \right) \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \left( a + 1 \right) \left( x^{2} - x - 2 \right) = 0$ $\left( 2 \right)$
Ta có $S_{\left( D \right)} = 9 \Leftrightarrow \int_{- 1}^{2} \left|\right. \left( a + 1 \right) \left( x^{2} - x - 2 \right) \left|\right. \text{d} x = 9 \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \left|\right. a + 1 \left|\right. = 9 \Leftrightarrow a + 1 = 2 \Leftrightarrow a = 1$
Với $a = 1$ từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra: $2 x^{2} + b x + c - 2 = 2 x^{2} - 2 x - 4 \Leftrightarrow \left{\right. b = - 2 \\ c = - 2$
Vì hai đường $y = f \left( x \right) = x^{2} - 2 x - 2$ và $y = g \left( x \right) = - x^{2} + 2$ nằm khác phía trục $O x$ nên ta lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = f \left( x \right) = x^{2} - 2 x - 2$ qua trục $O x$ ta được đồ thị hàm số $y = - \left( x^{2} - 2 x - 2 \right) = - x^{2} + 2 x + 2$.
Xét $- x^{2} + 2 - \left( - x^{2} + 2 x + 2 \right) = - 2 x \Rightarrow \left{ - x^{2} + 2 \geq - x^{2} + 2 x + 2 > 0 , \forall x \in \left[\right. - 1 ; 0 \left]\right. \\ 0 < - x^{2} + 2 \leq - x^{2} + 2 x + 2 , \forall x \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
$V = \pi \int_{- 1}^{0} \left(\right. - x^{2} + 2 \right)^{2} \text{d} x + \pi \int_{0}^{2} \left( - x^{2} + 2 x + 2 \right)^{2} \text{d} x = \dfrac{259 \pi}{15}$