Gọi $\left( D \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = f \left( x \right) = a x^{2} + b x + c$ và $y = g \left( x \right) = - x^{2} + m x + n$. Biết $S_{\left( D \right)} = 9$ và đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có đỉnh $I \left( 0 ; 2 \right)$. Khi cho miền được giới hạn bởi hai đường cong trên và hai đường thẳng $x = - 1 ; x = 2$ quay quanh trục $O x$, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích $V$. Giá trị của $V$ bằng:

A.  

$\dfrac{295 \pi}{19}$.

B.  

$\dfrac{295 \pi}{15}$.

C.  

$\dfrac{259 \pi}{15}$.

D.  

$\dfrac{259 \pi}{19}$.

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết đồ thị hàm số $y = g \left( x \right) = - x^{2} + m x + n$ có đỉnh $I \left( 0 ; 2 \right)$ nên có $\left{\right. m = 0 \\ n = 2$
$\Rightarrow y = g \left( x \right) = - x^{2} + 2$.
Với $x = - 1 \Rightarrow y = 1$ và $x = 2 \Rightarrow y = - 2$.
Từ giả thiết ta có đồ thị hai hàm số $y = f \left( x \right)$ và $y = g \left( x \right)$ cắt nhau tại điểm $A \left( - 1 ; 1 \right)$ và $B \left( 2 ; - 2 \right)$ nên ta có:
$\left{\right. a - b + c = 1 \\ 4 a + 2 b + c = - 2$ $\Rightarrow \left{\right. b = - a - 1 \\ c = - 2 a$ $\Rightarrow f \left( x \right) = a x^{2} - \left( a + 1 \right) x - 2 a$.
Ta có $S_{\left( D \right)} = \int_{- 1}^{2} \left(\right. g \left( x \right) - f \left( x \right) \left.\right) \text{d} x = \int_{- 1}^{2} \left(\right. - x^{2} + 2 - a x^{2} + \left( a + 1 \right) x + 2 a \left.\right) \text{d} x$
$= \left( \left(\right. - \dfrac{x^{3}}{3} + 2 x - \dfrac{a x^{3}}{3} + \dfrac{\left( a + 1 \right) x^{2}}{2} + 2 a x \left.\right) \left|\right.\right)_{- 1}^{2} = \dfrac{9 a + 9}{2}$
Mà $S_{\left( D \right)} = 9$ $\Rightarrow \dfrac{9 a + 9}{2} = 9 \Rightarrow a = 1$ $\Rightarrow f \left( x \right) = x^{2} - 2 x - 2$.
Khi đó, ta có $V = \pi \int_{- 1}^{0} \left( - x^{2} + 2 \right)^{2} \text{d} x + \pi \int_{0}^{2} \left( x^{2} - 2 x - 2 \right)^{2} \text{d} x = \dfrac{259 \pi}{15}$.