Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f^{'} \left( x \right)$ như sau:

Hàm số $g \left( x \right) = f \left(\right. x^{2} - 2 x + 1 - \left| x - 1 \left|\right. \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị

(VDC):
Phương pháp:
Đưa hàm số $g \left( x \right) = h \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$. Để hàm số $g \left( x \right) = h \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$ có ít nhất 5 điểm cực trị thì hàm số $h \left( x \right)$ phải có ít nhất 2 điểm cực trị dương.
Tìm điều kiện để phương trình $h^{'} \left( x \right) = 0$ có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt. Sử dụng tương giao đồ thị hàm số.
Cách giải
Ta có:
$g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x^{2023} + 2023 x \left|\right. + m \right)$
$\Leftrightarrow g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x \left(\right. x^{2022} + 2023 \right) \left| + m \right)$
$\Leftrightarrow g \left( x \right) = f \left(\right. \left|\right. x \left|\right. . \left|\right. x^{2022} + 2023 \left| + m \right)$
$\Leftrightarrow g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x \left|\right. . \left(\left|\right. x \left|\right.\right)^{2022} + 2023 \mid + m \right)$
Xét hàm số $h \left( x \right) = f \left( x \left(\right. x^{2022} + 2023 \right) + m \left.\right) = f \left( x^{2023} + 2023 x + m \right) \Rightarrow g \left( x \right) = h \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$.
Để hàm số $g \left( x \right) = h \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$ có ít nhất 5 điểm cực trị thì hàm số $h \left( x \right)$ phải có ít nhất 2 điểm cực trị dương.
$\Rightarrow$ Phương trình $h^{'} \left( x \right) = 0$ phải có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt.
Ta có: $h^{'} \left( x \right) = \left( 2023 \cdot x^{2022} + 2023 \right) f^{'} \left( x^{2023} + 2023 x + m \right)$.
Do $x > 0 \Rightarrow h^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f^{'} \left( x^{2023} + 2023 x + m \right) = 0$.
Dựa vào BBT ta thấy $f^{'} \left( 2 x + 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = - 1 \\ x = 0 \\ x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow f^{'} \left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. t = - 1 \\ t = 1 \\ t = 2$.
$\Rightarrow f ' \left( x^{2023} + 2023 x + m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x^{2023} + 2023 x + m = - 1 \\ x^{2023} + 2023 x + m = 1 \\ x^{2023} + 2023 x + m = 2 \Leftrightarrow \left[\right. x^{2023} + 2023 x = - m - 1 \\ x^{2023} + 2023 x = - m + 1 \\ x^{2023} + 2023 x = - m + 2$
Xét hàm số $p \left( x \right) = x^{2023} + 2023 x \Rightarrow p^{'} \left( x \right) = 2023 x^{2022} + 2023 > 0 \textrm{ }\textrm{ } \forall x > 0$.
$\Rightarrow$ Hàm số $p \left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; + \infty \right)$.
Ta có BBT: