Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y = f^{'} \left( 2 x + 1 \right)$ có bảng xét dấu như sau:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in \left[\right. - 2023$; 2023] để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x^{2023} + 2023 x \left|\right. + m \right)$ có ít nhất 5 điểm cực trị?

(VD):
Phương pháp:
Hàm số $y = \dfrac{a x + b}{c x + d}$ đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) $\Leftrightarrow \left{ y^{'} > 0 \left(\right. y^{'} < 0 \right) \\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( a ; b \right)$.
Cách giải
Ta có: $g^{'} \left( x \right) = \left( - 2 x + 2 \right) f^{'} \left( - x^{2} + 2 x - 2023 + m \right)$.
Để hàm số đồng biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$ thì $g^{'} \left( x \right) > 0 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$.
$\Rightarrow \left( - 2 x + 2 \right) f^{'} \left( - x^{2} + 2 x - 2023 + m \right) > 0 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$
$\Rightarrow f^{'} \left( - x^{2} + 2 x - 2023 + m \right) > 0 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right) \left( * \right) \left(\right. d o - 2 x + 2 > 0 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right) \left.\right)$
Dựa vào đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( 1 + x \right)$ ta thấy
$f^{'} \left( 1 + x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[\right. x < 0 \\ 1 < x < 2$
$\Leftrightarrow f^{'} \left( t \right) > 0 \Leftrightarrow \left[\right. t - 1 < 0 \\ 1 < t - 1 < 2 \Leftrightarrow \left[\right. t < 1 \\ 2 < t < 3$
Do đó $\left( * \right) \Leftrightarrow \left[\right. - x^{2} + 2 x - 2023 + m < 1 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right) \\ 2 < - x^{2} + 2 x - 2023 + m < 3 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow \left[\right. - x^{2} + 2 x - 2023 + m < 1 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right) \\ 2 < - x^{2} + 2 x - 2023 + m < 3 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow \left[\right. m < x^{2} - 2 x + 2024 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right) \\ x^{2} - 2 x + 2025 < m < x^{2} - 2 x + 2026 \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow \left[ m \leq 2023 \\ 2025 \leq m \leq 2025 \Leftrightarrow \left[\right. m \leq 2023 \\ m = 2025$
Kết hợp điều kiện $m$ là số nguyên dương $\Rightarrow m \in \left{\right. 1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 2022 ; 2023 ; 2025 \right}$ nên có 2024 giá trị m thoả mãn.