Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$trên $\mathbb{R}$ và $F \left( - 2 \right) = - 12 , F \left( 4 \right) = - 6$. Tính $\int_{- 2}^{4} f \left( x \right) \text{d} x$.

Cho $f$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 1 ; 2 \left]\right.$. Biết $F$ là nguyên hàm của $f$ trên đoạn $\left[\right. 1 ; 2 \left]\right.$ thỏa mãn $F \left(\right. 1 \right) = - 2$ và $F \left( 2 \right) = 3$. Khi đó $\int_{1}^{2} f \left( x \right) \text{d} x$ bằng

Cho hàm số

Cho hai hàm đa thức $y = f \left( x \right) , y = g \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị là hai đường cong như hình bên dưới. Biết rằng đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$có đúng một cực trị là $A$, đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị là $B$ và $A B = 10$. Số giá trị nguyên của tham số $m$để hàm số $y = \left|\right. \left|\right. f \left( x \right) - g \left( x \right) \left|\right. - \dfrac{2 m}{3} - 4 \left|\right.$ có đúng $7$điểm cực trị là.

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$, biết rằng $f \left( 0 \right) = 0$ và hàm số $g \left( x \right) = \dfrac{1}{16} \left[\right. x f^{''} \left( x \right) + f^{'} \left( x \right) \left]\right.$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$xác định và liên tục trên đoạn $\left[\right. - 3 ; 3 \left]\right.$. Biết diện tích hình phẳng $S_{1} , S_{2}$giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$ và đường thẳng $y = - x - 1$lần lượt là $M , m$. Tính tích phân $\int_{- 3}^{3} f \left( x \right) d x$ bằng?

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[\right. - 5 ; \textrm{ } 3 \left]\right.$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng $S_{1} , \textrm{ }\textrm{ } S_{2} , \textrm{ }\textrm{ } S_{3}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$ và đường cong $y = g \left( x \right) = a x^{2} + b x + c$ lần lượt là $m , \textrm{ }\textrm{ } n , \textrm{ }\textrm{ } p .$ Tích phân $\int_{- 5}^{3} f \left( x \right) \text{d} x$ bằng

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$và thỏa mãn $2 f \left( x \right) + f \left( 1 - x \right) = 3 x^{2} - 6 , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f \left( x \right)$ và $y = f^{'} \left( x \right)$ và $\dfrac{a}{b} . \sqrt{5}$( với $a \textrm{ } , b \textrm{ } \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị của hiệu $a - b$ bằng

Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\int_{1}^{e^{3}} \dfrac{f \left( ln x \right)}{x} \text{d} x = 7$, $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f \left( cos x \right) sin x \text{d} x = 3$. Giá trị của $\int_{1}^{3} \left[\right. f \left( x \right) + 2 x \left]\right. \text{d} x$ bằng

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f \left( 5 \right) = 1$ và $\int_{0}^{1} x \textrm{ } f \left( 5 x \right) \text{d} x = 1$, khi đó $\int_{0}^{5} x^{2} f^{'} \left( x \right) d x$ bằng