Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f \left( x \right) = 2 x^{2} - 9 + \int_{0}^{1} x f \left( \sqrt{1 + 8 x^{2}} \right) d x$. Đồ thị hàm số $g \left( x \right) = a x^{3} + b x^{2} + c x - 9$ cắt đồ thị hàm số $f \left( x \right)$ tại 3 điểm có hoành độ là $1 ; 2 ; 3$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $f \left( x \right)$ và $g \left( x \right)$ có diện tích bằng

A.  

$\dfrac{1}{24}$.

B.  

3.

C.  

$\dfrac{1}{2}$.

D.  

$\dfrac{1}{12}$.

Đáp án đúng là: D

Đặt $a = \int_{0}^{1} x \cdot f \left( \sqrt{1 + 8 x^{2}} \right) d x$, Ta có $f \left( x \right) = 2 x^{2} - 9 + a$
Suy ra $a = \int_{0}^{1} x \cdot f \left( \sqrt{1 + 8 x^{2}} \right) d x = \int_{0}^{1} x \cdot \left( 2 \left(\right. 1 + 8 x^{2} \right) - 9 + a \left.\right) d x = \int_{0}^{1} \left( 16 x^{3} + \left(\right. a - 7 \right) x \left.\right) d x = 4 + \dfrac{a - 7}{2}$ $\Leftrightarrow a = 1$. Vậy $f \left( x \right) = 2 x^{2} - 8$
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số $f \left( x \right)$ và $g \left( x \right)$ :
$2 x^{2} - 8 = a x^{3} + b x^{2} + c x - 9 \Leftrightarrow a x^{3} + \left( b - 2 \right) x^{2} + c x - 1 = 0$
Theo đề bài ta có $a x^{3} + \left( b - 2 \right) x^{2} + c x - 1 = a \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \Rightarrow a = \dfrac{1}{6}$
Hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hai hàm số $f \left( x \right)$ và $g \left( x \right)$ có diện tích bẳng $\int_{1}^{3} \left|\right. \dfrac{1}{6} \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left|\right. d x = \dfrac{1}{12}$.