Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #8899

Cho hình chóp đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng aa. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng ACA C và SDS D bằng a3010\dfrac{a \sqrt{30}}{10}. Tính khoảng cách từ điểm BB đến mặt phẳng \left(\right. S C D \right).

A.  

a34\dfrac{a \sqrt{3}}{4}.

B.  

a3a \sqrt{3}.

C.  

a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}.

D.  

a32\dfrac{a \sqrt{3}}{2}.

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng aa. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng ACA C và SDS D bằng a3010\dfrac{a \sqrt{30}}{10}. Tính khoảng cách từ điểm BB đến mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right).
A. a34\dfrac{a \sqrt{3}}{4}. B. a3a \sqrt{3}. C. a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}. D. a32\dfrac{a \sqrt{3}}{2}.
Lời giải



Vì S.ABCDS . A B C D là chóp đều nên gọi O=AC∩BDO = A C \cap B D thì SO⊥(ABCD)⇒SO⊥ACS O \bot \left( A B C D \right) \Rightarrow S O \bot A C và ABCDA B C D là hình vuông cạnh aa ⇒AC⊥BD\Rightarrow A C \bot B D.
Do đó AC⊥(SBD)A C \bot \left( S B D \right), kẻ OH⊥SDO H \bot S D ⇒AC⊥OH\Rightarrow A C \bot O H. Suy ra d(AC,SD)=OH=a3010d \left( A C , S D \right) = O H = \dfrac{a \sqrt{30}}{10}.
Ta có OD=12BD=12BC2+CD2=a22O D = \dfrac{1}{2} B D = \dfrac{1}{2} \sqrt{B C^{2} + C D^{2}} = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}.
Mà 1OH2=1SO2+1OD2⇔103a2=1SO2+2a2⇔1SO2=103a2−2a2⇔1SO2=43a2⇔SO=a32\dfrac{1}{O H^{2}} = \dfrac{1}{S O^{2}} + \dfrac{1}{O D^{2}} \Leftrightarrow \dfrac{10}{3 a^{2}} = \dfrac{1}{S O^{2}} + \dfrac{2}{a^{2}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{S O^{2}} = \dfrac{10}{3 a^{2}} - \dfrac{2}{a^{2}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{S O^{2}} = \dfrac{4}{3 a^{2}} \Leftrightarrow S O = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}.
Gọi MM là trung điểm của CDC D thì OM⊥CDO M \bot C D mà SO⊥CDS O \bot C D nên CD⊥(SOM)C D \bot \left( S O M \right) ⇒(SCD)⊥(SOM)\Rightarrow \left( S C D \right) \bot \left( S O M \right) theo giao tuyến SMS M, kẻ OK⊥SM⇒OK⊥(SCD)O K \bot S M \Rightarrow O K \bot \left( S C D \right) hay OK=d(O,(SCD))O K = d \left(\right. O , \left( S C D \right) \left.\right).
Có OM=12BC=a2⇒1OK2=1SO2+1OM2⇔1OK2=43a2+4a2⇔1OK2=163a2O M = \dfrac{1}{2} B C = \dfrac{a}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{O K^{2}} = \dfrac{1}{S O^{2}} + \dfrac{1}{O M^{2}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{O K^{2}} = \dfrac{4}{3 a^{2}} + \dfrac{4}{a^{2}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{O K^{2}} = \dfrac{16}{3 a^{2}} ⇒OK=a34\Rightarrow O K = \dfrac{a \sqrt{3}}{4}.
Vì OO là trung điểm của BDB D nên d(B,(SCD))=2d(O,(SCD))=2OK=a32d \left(\right. B , \left( S C D \right) \left.\right) = 2 d \left(\right. O , \left( S C D \right) \left.\right) = 2 O K = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}.
Vậy d(B,(SCD))=a32d \left(\right. B , \left( S C D \right) \left.\right) = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}.


 

Câu hỏi tương tự:

#7767 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng 2a2 a, cạnh bên bằng 3a3 a. Khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right) bằng

Lượt xem: 132,090 Cập nhật lúc: 06:27 03/04/2025

#8247 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng aa (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ BBđến mặt phẳng (SAC)\left( S A C \right) bằng

Lượt xem: 140,326 Cập nhật lúc: 01:32 03/04/2025

#7903 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng aa và chiều cao bằng a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

Lượt xem: 134,409 Cập nhật lúc: 23:57 02/04/2025

#11158 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tam giác đều S.ABCS . A B C có cạnh đáy bằng 2a2 a và chiều cao bằng a2a \sqrt{2} (tham khảo hình vẽ dưới đây)



Khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (SBC)\left( S B C \right) bằng

Lượt xem: 189,739 Cập nhật lúc: 01:47 03/04/2025

#8348 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có cạnh đáy bằng 2a,2 a , OO là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SOS O và ABA B bằng

Lượt xem: 141,990 Cập nhật lúc: 01:33 03/04/2025

#8391 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M là trung điểm của SB. Thể tích hình chóp S.ACM bằng

Lượt xem: 142,711 Cập nhật lúc: 01:41 03/04/2025

#8167 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có đáy cạnh bằng aa, cạnh bên bằng a52\dfrac{a \sqrt{5}}{2}. Số góc đo giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right) và (ABCD)\left( A B C D \right) là

Lượt xem: 138,953 Cập nhật lúc: 01:33 03/04/2025

#8011 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp đều S.ABCDS . A B C Dcó đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh bằng

, cạnh bên

.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

và

bằng

Lượt xem: 136,328 Cập nhật lúc: 07:33 02/04/2025

#7824 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông tâm OO cạnh 2a2 a và SO=a.S O = a . Khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right) bằng

Lượt xem: 133,062 Cập nhật lúc: 01:32 03/04/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

20. Đề thi thử TN THPT môn Toán năm 2024 - SỞ GIÁO DỤC HẢI DƯƠNG - LẦN 2.docxTHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

5,060378