Trang chủ   Hỏi & đáp   THPT Quốc gia   Toán   Câu hỏi số #7565  

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là tam giác ABCA B C vuông cân tại AA, cạnh BC=a2B C = a \sqrt{2}. Góc giữa mặt phẳng (AB′C)\left( A B^{'} C \right) và mặt phẳng (BCC′B′)\left( B C C^{'} B^{'} \right) bằng 60∘60 \circ. Tính thể tích VV của khối đa diện AB′CA′C′A B^{'} C A^{'} C^{'}.

A.  

3a32.\dfrac{3 a^{3}}{2} .

B.  

a32.\dfrac{a^{3}}{2} .

C.  

a33.\dfrac{a^{3}}{3} .

D.  

a333.\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .

Đáp án đúng là: C

Giải thích đáp án:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là tam giác ABCA B C vuông cân tại AA, cạnh BC=a2B C = a \sqrt{2}. Góc giữa mặt phẳng (AB′C)\left( A B^{'} C \right) và mặt phẳng (BCC′B′)\left( B C C^{'} B^{'} \right) bằng 60∘60 \circ. Tính thể tích VV của khối đa diện AB′CA′C′A B^{'} C A^{'} C^{'}.
A. 3a32.\dfrac{3 a^{3}}{2} .B. a32.\dfrac{a^{3}}{2} .C. a33.\dfrac{a^{3}}{3} .D. a333.\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .
Lời giải



Gọi HH là trung điểm của BCB C ta có
AH⊥BC⇒AH⊥(BCC′B′)⇒AH⊥B′CA H \bot B C \Rightarrow A H \bot \left( B C C^{'} B^{'} \right) \Rightarrow A H \bot B^{'} C
Trong (AB′C)\left( A B^{'} C \right) kẻ AD⊥B′CA D \bot B^{'} C
⇒B′C⊥(AHD)⇒B′C⊥HD\Rightarrow B^{'} C \bot \left( A H D \right) \Rightarrow B^{'} C \bot H D
Ta có:

Do tam giác ABCA B C vuông cân và AHA H là đường trung tuyến nên AH=BC2=a22A H = \dfrac{B C}{2} = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}.
Trong tam giác AHDA H D có HD=AH.cot60∘=a66H D = A H . \text{cot} 60 \circ = \dfrac{a \sqrt{6}}{6}.
Dễ thấy ΔCBB′\Delta C B B^{'} đồng dạng với ΔCDH\Delta C D H (g.g)
⇒BB′HD=CB′CH⇒BB′a66=2a2+B(B′)2a22\Rightarrow \dfrac{B B^{'}}{H D} = \dfrac{C B^{'}}{C H} \Rightarrow \dfrac{B B^{'}}{\dfrac{a \sqrt{6}}{6}} = \dfrac{\sqrt{2 a^{2} + B \left(B^{'}\right)^{2}}}{\dfrac{a \sqrt{2}}{2}}
⇔3BB′=2a2+B(B′)2⇔2B(B′)2=2a2⇔BB′=a\Leftrightarrow \sqrt{3} B B^{'} = \sqrt{2 a^{2} + B \left(B^{'}\right)^{2}} \Leftrightarrow 2 B \left(B^{'}\right)^{2} = 2 a^{2} \Leftrightarrow B B^{'} = a
Trong tam giác ABCA B C có AB2+AC2=BC2A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} ⇔AB=AC=BC2=a\Leftrightarrow A B = A C = \dfrac{B C}{\sqrt{2}} = a.
⇒SABC=12AB.AC=a22\Rightarrow S_{A B C} = \dfrac{1}{2} A B . A C = \dfrac{a^{2}}{2}.
⇒VABC.A′B′C′=BB′.SABC=a.a22=a32\Rightarrow V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = B B^{'} . S_{A B C} = a . \dfrac{a^{2}}{2} = \dfrac{a^{3}}{2}
Ta có VAB′CA′C′+VB′.ABC=VABC.A′B′C′V_{A B^{'} C A^{'} C^{'}} + V_{B^{'} . A B C} = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}
⇒VAB′CA′C′=VABC.A′B′C′−VB′.ABC=\Rightarrow V_{A B^{'} C A^{'} C^{'}} = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{B^{'} . A B C} = VABC.A′B′C′−13VABC.A′B′C′=23VABC.A′B′C′V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - \dfrac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \dfrac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}
⇒VAB′CA′C′=23⋅a32=a33\Rightarrow V_{A B^{'} C A^{'} C^{'}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a^{3}}{2} = \dfrac{a^{3}}{3}

Câu hỏi tương tự:

#8869 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là tam giác vuông cân tại BB, AB=aA B = a và A′B=a3A^{'} B = a \sqrt{3}. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} là

Lượt xem: 150,807 Cập nhật lúc: 14:36 30/07/2024

#8459 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ' có đáy ABCA B C là tam giác vuông tại BB, BC=aB C = a, mặt phẳng (A′BC)\left( A ' B C \right) tạo với đáy một góc 30∘30 \circ và tam giác A′BCA ' B C có diện tích bằng a23a^{2} \sqrt{3}. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C '.

Lượt xem: 143,819 Cập nhật lúc: 02:44 03/08/2024

#8071 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là một tam giác vuông cân tại BB. AB=AA′=2a,A B = A A^{'} = 2 a , M,NM , N lần lượt là trung điểm của BCB Cvà BB′B B^{'}. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MNM N và AC′A C^{'} bằng

Lượt xem: 137,227 Cập nhật lúc: 16:18 31/07/2024

#8941 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=2a,  BC=aA B = 2 a , \textrm{ }\textrm{ } B C = a và AA′=4a.A A^{'} = 4 a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB.A B . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′A B^{'} và CM bằng

Lượt xem: 152,020 Cập nhật lúc: 13:25 31/07/2024

#7537 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy ABCA B C tam giác vuông cân tại A,AB=a,AA′=a2.A , A B = a , A A^{'} = a \sqrt{2} . Gọi MM là trung điểm BC.B C . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AMA M và B′CB^{'} C bằng

Lượt xem: 128,146 Cập nhật lúc: 15:02 31/07/2024

#8557 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ', có đáy ABCA B Clà tam giác vuông cân tại A,AA′=aA , A A ' = a, A′B=a5A ' B = a \sqrt{5}. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C 'là

Lượt xem: 145,504 Cập nhật lúc: 15:45 31/07/2024

#8122 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là tam giác vuông cân tại BB, AB=AA′=1A B = A A^{'} = 1 (tham khảo hình vẽ).



Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Lượt xem: 138,110 Cập nhật lúc: 23:38 31/07/2024

#8442 THPT Quốc giaToán

Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′A B C D . A ' B ' C ' D ' có đáy ABCDA B C D là hình thoi, AC=2,BD=4A C = 2 , B D = 4. Biết góc giữa hai mặt phẳng , (CB′D′)\left( C B ' D ' \right) bằng (60)0\left(60\right)^{0}. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A′B′C′D′A B C D . A ' B ' C ' D '.

Lượt xem: 143,547 Cập nhật lúc: 14:36 30/07/2024

#8163 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Thể tích khối lăng trụ bằng

Lượt xem: 138,803 Cập nhật lúc: 17:22 03/08/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - THPT ĐỒNG LỘC - HÀ TĨNH - Lần 1THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

431 lượt xem 217 lượt làm bài