Cho lăng trụ đứng $A B C D . A ' B ' C ' D '$ có đáy $A B C D$ là hình thoi, $A C = 2 , B D = 4$. Biết góc giữa hai mặt phẳng \left(\right. A B ' D ' \right), $\left( C B ' D ' \right)$ bằng $\left(60\right)^{0}$. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C D . A ' B ' C ' D '$.

A.  

$6 \sqrt{2}$.

B.  

$6 \sqrt{3}$.

C.  

$4 \sqrt{3}$.

D.  

$4 \sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: C

Cho lăng trụ đứng $A B C D . A ' B ' C ' D '$ có đáy $A B C D$ là hình thoi, $A C = 2 , B D = 4$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( A B ' D ' \right)$, $\left( C B ' D ' \right)$ bằng $\left(60\right)^{0}$. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C D . A ' B ' C ' D '$.
A. $6 \sqrt{2}$. B. $6 \sqrt{3}$. C. $4 \sqrt{3}$. D. $4 \sqrt{2}$.
Lời giải

Ta có: $\left{ B^{'} D^{'} \bot A^{'} C^{'} \\ B^{'} D^{'} \bot O O^{'} \Rightarrow B^{'} D^{'} \bot \left(\right. A O^{'} C \right) \Rightarrow \left{ \left(\right. A O^{'} C \right) \bot \left( A B^{'} D^{'} \right) \\ \left( A O^{'} C \right) \bot \left( C B^{'} D^{'} \right)$.
Mà $\left{ \left(\right. A O^{'} C \right) \cap \left( A B^{'} D^{'} \right) = A O^{'} \\ \left( A O^{'} C \right) \cap \left( C B^{'} D^{'} \right) = O^{'} C \Rightarrow \left(\right. \left( A B^{'} D^{'} \right) , \left( C B^{'} D^{'} \right) \left.\right) = \left( A O^{'} , O^{'} C \right) = 60 \circ$.
TH1: $\widehat{A O^{'} C}$ là góc nhọn nên $\widehat{A O^{'} C} = \left( A O^{'} , O^{'} C \right) = 60 \circ$.
Khi đó tam giác $A O^{'} C$ đều nên $O O^{'} = \dfrac{A C \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow V_{A B C D . A ' B ' C ' D '} = O O^{'} . S_{A B C D} = \sqrt{3} . \dfrac{1}{2} . 2 . 4 = 4 \sqrt{3}$.
TH2: $\widehat{A O^{'} C}$ là góc tù nên $\widehat{A O^{'} C} = 180 \circ - \left( A O^{'} , O^{'} C \right) = 120 \circ$.
Nên tam giác $C O O^{'}$ vuông tại $O$, khi đó:
$tan \widehat{O O^{'} C} = \dfrac{O C}{O O^{'}} \Leftrightarrow O O^{'} = \dfrac{O C}{tan \widehat{O O^{'} C}} = \dfrac{1}{tan60 \circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow V_{A B C D . A ' B ' C ' D '} = O O^{'} . S_{A B C D} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} . \dfrac{1}{2} . 2 . 4 = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3}$.