Cho hai số thực $x , y$ thỏa mãn: $9 x^{3} + \left( 2 - y \sqrt{3 x y - 8} \right) x + 2 \sqrt{3 x y - 8} = 0$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{3} + y^{3} + 9 x y + \left( 9 x^{2} + 5 \right) \left( x + y - 3 \right)$ có dạng $\dfrac{a \sqrt{6} + b}{9}$. Tính $T = a + b$.

A.  

961.

B.  

1033.

C.  

365.

D.  

1030.

Đáp án đúng là: B

(VDC):
Phương pháp:
Phương pháp hàm đặc trưng.
Cách giải:
Ta có $9 x^{3} + \left( 2 - y \sqrt{3 x y - 8} \right) x + 2 \sqrt{3 x y - 8} = 0$
$\Leftrightarrow 27 x^{3} + 6 x = \left( 3 x y - 8 \right) \sqrt{3 x y - 8} + 2 \sqrt{3 x y - 8}$.
Xét hàm $f \left( t \right) = t^{3} + 2 t$ với $t \in \left( 0 ; + \infty \right)$
có $f^{'} \left( t \right) = 3 t^{2} + 2 > 0 \forall t \in \left( 0 ; + \infty \right)$ nên hàm số liên tục và đồng biến trên $\left( 0 ; + \infty \right)$.
Khi đó ta có $3 x = \sqrt{3 x y - 8} \Rightarrow x \geq 0$ và $9 x^{2} = 3 x y - 8$.
Với $x = 0$ thì $0 = - 8 \left( l \right)$.
với $x > 0$ thì $P = x^{3} + y^{3} + 9 x y + \left( 9 x^{2} + 5 \right) \left( x + y - 3 \right)$
$= x^{3} + y^{3} + 9 x y + \left( 3 x y - 3 \right) \left( x + y - 3 \right)$
$= x^{3} + y^{3} + 9 x y + 3 x y \left( x + y \right) - 9 x y - 3 \left( x + y \right) + 9$
$= x^{3} + y^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - 3 \left( x + y \right) + 9$
$= \left( x + y \left(\right)\right)^{3} - 3 \left( x + y \right) + 9$
Mà $x + y = x + \dfrac{9 x^{2} + 8}{3 x} = 4 x + \dfrac{8}{3 x} \geq 2 \sqrt{4 x . \dfrac{8}{3 x}} = \dfrac{8 \sqrt{6}}{3}$. Đặt $t = x + y$ thì $t \geq \dfrac{8 \sqrt{6}}{3}$.
Xét $f \left( t \right) = t^{3} - 3 t + 9$ với $t \geq \dfrac{8 \sqrt{6}}{3}$. Khi đó $f^{'} \left( t \right) = 3 t^{2} - 3 > 0$ với $\forall t \geq \dfrac{8 \sqrt{6}}{3}$.
Do đó $f \left( t \right) \geq f \left( \dfrac{8 \sqrt{6}}{3} \right) = \dfrac{952 \sqrt{6} + 81}{9}$, suy ra $a = 952 , b = 81 \Rightarrow T = 1033$.