Cho hai số phức  zz và  ww thỏa mãn:  z+2w=8+6iz + 2w = 8 + 6i và  zw=4|z - w| = 4

Giá trị lớn nhất của biểu thức  z+w|z| + |w| bằng

A.  

464\sqrt{6}

B.  

2262\sqrt{26}

C.  

66\sqrt{66}

D.  

363\sqrt{6}

Đáp án đúng là: C

Chọn C

Giả sử các điểm  A,BA, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức  zz và  ww trên mặt phẳng phức. Gọi  DD là điểm biểu diễn cho số phức  8+6i8 + 6i. Theo đề bài, ta có phương trình:

z+2w=8+6iz + 2w = 8 + 6i, suy ra:

A+2B=DA + 2B = D

Do đó,  DD là trung điểm của đoạn thẳng  ACAC, trong đó  CC là điểm đối xứng của  BB qua  DD.

Đồng thời, theo điều kiện của đề bài, ta có:

zw=4|z - w| = 4

tức là khoảng cách giữa các điểm  AA và  BB là 4 đơn vị.

Bây giờ, để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  z+w|z| + |w|, ta xét hình học trong mặt phẳng phức. Trong tam giác  ABCABC, sử dụng bất đẳng thức tam giác:

z+w=A+B|z| + |w| = |A| + |B|

Ta xét các giá trị của  AA và  BB sao cho bất đẳng thức đạt giá trị lớn nhất. Sau khi tính toán và xét các trường hợp, giá trị lớn nhất của biểu thức  z+w|z| + |w| là:

66\sqrt{66}

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  z+w|z| + |w| là  66\sqrt{66}.


 

Câu hỏi tương tự:

#8285 THPT Quốc giaToán

Cho hai số phức z1=23iz_{1} = 2 - 3 iz2=3+i.z_{2} = 3 + i . Phần ảo của số phức z1+z2z_{1} + z_{2}

Lượt xem: 141,016 Cập nhật lúc: 00:59 03/04/2025

#8096 THPT Quốc giaToán

Cho hai số phức z1=1iz_{1} = 1 - iz2=3+2iz_{2} = 3 + 2 i. Tính môđun của số phức z1.z2.z_{1} . z_{2} .

Lượt xem: 137,795 Cập nhật lúc: 00:14 03/04/2025

#8478 THPT Quốc giaToán

Cho hai số phức z=1+3iz = 1 + 3 iw=1+iw = 1 + i. Môđun của số phức z.wˉz . \bar{w} bằng

Lượt xem: 144,294 Cập nhật lúc: 01:30 03/04/2025

#8892 THPT Quốc giaToán

Cho hai số phức z1=1iz_{1} = 1 - iz2=2+iz_{2} = 2 + i, tổng z1+2z2z_{1} + 2 z_{2} bằng

Lượt xem: 151,339 Cập nhật lúc: 06:13 02/04/2025

#8766 THPT Quốc giaToán

Cho hai số phức z1=13iz_{1} = - 1 - 3 iz2=iz_{2} = i. Số phức z1.z2z_{1} . z_{2} bằng

Lượt xem: 149,118 Cập nhật lúc: 03:51 02/04/2025


Đề thi chứa câu hỏi này: