Cho hai số phức  $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn  $\left| z_{1} + 3 + 2i \right| = 1$ và  $\left| z_{2} + 2 - i \right| = 1$. Xét các số phức  $z = a + bi, \textrm{ } (a, b \in \mathbb{R})$ thỏa mãn  $2a - b = 0$. Khi biểu thức  $T = \left| z - z_{1} \right| + \left| z - 2z_{2} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức  $P = 3a^{2} - b^{3}$ bằng

Đặt  $\left\{ w_{1} = z_{1} \\ w_{2} = 2z_{2} \right\}$ 
Ta có:  $\left| z_{1} + 3 + 2i \right| = 1 \Leftrightarrow \left| w_{1} + 3 + 2i \right| = 1$. Gọi  $M$ là điểm biểu diễn số phức  $w_{1}$, khi đó  $M$ thuộc đường tròn  $(C_{1})$ có tâm  $I_{1} (-3, -2)$, bán kính  $R = 1$. 
Ta có:  $\left| z_{2} + 2 - i \right| = 1 \Leftrightarrow \left| 2z_{2} + 4 - 2i \right| = 2$. Gọi  $N$ là điểm biểu diễn số phức  $w_{2}$, khi đó  $N$ thuộc đường tròn  $(C_{2})$ có tâm  $I_{2} (-4, 2)$, bán kính  $R = 2$. 
Xét số phức  $z = x + yi$ có điểm biểu diễn là  $A (x, y)$,  $A \in (\Delta) : 2x - y = 0$. 
Tìm  $A \in (\Delta)$ sao cho  $T = AM + AN$ đạt giá trị nhỏ nhất. 
$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi  $A = I_{1}I_{3} \cap (\Delta)$ với  $I_{3}$ đối xứng với  $I_{1}$ qua  $(\Delta)$. 
Khi đó  $I_{1}I_{3}$ qua  $I_{1} (-3, -2)$ và vuông góc với  $(\Delta)$ nên  $x + 2y + 7 = 0$. 
Gọi  $H = I_{1}I_{3} \cap (\Delta) \Rightarrow H \left( \dfrac{-7}{5}, \dfrac{-14}{5} \right)$. Khi đó  $H$ là trung điểm của  $I_{1}I_{3} \Rightarrow I_{3} \left( \dfrac{1}{5}, \dfrac{-18}{5} \right)$. 
Ta có  $\overrightarrow{I_{1}I_{3}} = \left( \dfrac{21}{5}, \dfrac{-28}{5} \right) = \dfrac{3}{5} \left( 3, -4 \right)$ nên đường thẳng  $(I_{1}I_{3}) : 4x + 3y + 10 = 0$. 
Khi đó  $A = I_{1}I_{3} \cap (\Delta) \Rightarrow A (-1, -2) \Rightarrow z = -1 - 2i$. 
Suy ra  $\left\{ a = -1 \\ b = -2 \right\}$ nên  $P = 3a^{2} - b^{3} = 11$.