Cho khối chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ . Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( S B C \right)$ bằng $a \sqrt{2}$ , $\hat{S A B} = \hat{S C B} = 90 \circ$ . Khi độ dài cạnh $A B$ thay đổi, thể tích khối chóp $S . A B C$ có giá trị nhỏ nhất bằng
A.
$3 \sqrt{3} a^{3} .$
B.
$\dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2} .$
C.
$\sqrt{3} a^{3} .$
D.
$\dfrac{\sqrt{6} a^{3}}{2} .$
Đáp án đúng là: D

Cho khối chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ . Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( S B C \right)$ bằng $a \sqrt{2}$ , $\hat{S A B} = \hat{S C B} = 90 \circ$ . Khi độ dài cạnh $A B$ thay đổi, thể tích khối chóp $S . A B C$ có giá trị nhỏ nhất bằng
A. $3 \sqrt{3} a^{3} .$ B. $\dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2} .$ C. $\sqrt{3} a^{3} .$ D. $\dfrac{\sqrt{6} a^{3}}{2} .$
Lời giải

Xác định điểm

D

sao cho tứ giác

A B C D

là hình vuông, đặt

A B = x > 0

.
Theo giả thiết, ta có:

S D \bot \left( A B C D \right)

.
Kẻ

D H \bot S C \Rightarrow D H \bot \left( S B C \right)

và

A D \textrm{ } // \textrm{ } B C \Rightarrow d_{\left(\right. A ; \textrm{ } \left( S B C \right) \left.\right)} = d_{\left(\right. D ; \textrm{ } \left( S B C \right) \left.\right)} = D H = a \sqrt{2}

.
Ta có:

S D = \dfrac{D C . D H}{\sqrt{D C^{2} - D H^{2}}} = \dfrac{a \sqrt{2} x}{\sqrt{x^{2} - 2 a^{2}}}

và

V_{S . A B C} = \dfrac{a \sqrt{2}}{6} . \dfrac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 2 a^{2}}}

.
Xét hàm

f \left( x \right) = \dfrac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 2 a^{2}}} , \textrm{ } x > a \sqrt{2}

\rightarrow f^{'} \left( x \right) = \dfrac{2 x^{4} - 6 a^{2} x^{2}}{\sqrt{\left(\left( x^{2} - 2 a^{2} \right)\right)^{3}}}

. Cho

f^{'} \left( x \right) = 0 \Rightarrow x = a \sqrt{3}

.
Từ đó ta có:

\underset{\left( \textrm{ } a \sqrt{2} ; \textrm{ } + \infty \right)}{min} f \left( x \right) = f \left( a \sqrt{3} \right) = 3 \sqrt{3} a^{2} \Rightarrow \textrm{ } min V_{S . A B C} = \dfrac{\sqrt{6} a^{3}}{2}

Câu hỏi tương tự:

#8084 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng $4 , \text{ } S A$ vuông góc với đáy. Góc giữa $S C$ và mặt $\left( S B D \right)$ bằng $\alpha$ . Biết $\text{cos} \alpha = \dfrac{3 \sqrt{10}}{10}$ và tam giác $S A C$ không cân. Thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng

Lượt xem: 137,510 Cập nhật lúc: 13:46 16/01/2025

#7561 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ , biết $A B = a , \textrm{ }\textrm{ } A C = 2 a$ . Mặt bên $\left( S A B \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S . A B C$ .

Lượt xem: 128,618 Cập nhật lúc: 14:28 17/01/2025

#8184 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ , $A B = a$ , $A C = a \sqrt{2}$ . Biết thể tích khối chóp $S . A B C$ bằng $\dfrac{a^{3}}{2}$ . Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( A B C \right)$ bằng

Lượt xem: 139,163 Cập nhật lúc: 18:23 14/01/2025

#8523 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$ và cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $S C ,$ biết $A B = a , \textrm{ }\textrm{ } A C = 2 a , \textrm{ }\textrm{ } S A = a \sqrt{3} .$ Tính thể tích khối chóp $S . A M B$ theo $a .$

Lượt xem: 144,984 Cập nhật lúc: 16:30 17/01/2025

#8028 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $A B = \sqrt{3}$ , $A C = \sqrt{7}$ , $S A = 1$ . Hai mặt bên $\left( S A B \right)$ và $\left( S A C \right)$ lần lượt tạo với mặt đáy các góc bằng $45 \circ$ và $60 \circ$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Lượt xem: 136,516 Cập nhật lúc: 19:39 18/01/2025

#8552 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ ; $A B = 3 a$ , $A C = a$ và đường cao $S A = 2 a$ . Thể tích khối chóp $S . A B C$ bằng

Lượt xem: 145,418 Cập nhật lúc: 22:41 17/01/2025

#8157 THPT Quốc giaToán

Cho một khối chóp tam giác có đáy là tam giác vuông và độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là $4 a$ và $3 a , \textrm{ }$ chiều cao của khối chóp là $4 a .$ Thể tích (tính theo $a$ ) của khối chóp đó là

Lượt xem: 138,709 Cập nhật lúc: 13:22 18/01/2025

#11178 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Mặt bên $S A D$ là tam giác đều cạnh $a \sqrt{3}$ . $A C D$ là tam giác vuông tại $A$ có cạnh $A C = a$ , góc giữa đường thẳng $A B$ và mặt phẳng $\left( S A D \right)$ bằng $\left(60\right)^{0}$ . Thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng

Lượt xem: 190,058 Cập nhật lúc: 18:34 18/01/2025

#7529 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $a ,$ cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C .$

Lượt xem: 128,028 Cập nhật lúc: 05:51 14/01/2025

Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - THPT HUYỆN NAM TRỰC NAM ĐỊNH - Lần 1THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

764 lượt xem 371 lượt làm bài

LetQA - Nền tảng trắc nghiệm & đề thi đa lĩnh vực

Về chúng tôi

LetQA là công cụ hỗ trợ học sinh, sinh viên, giáo viên, tổ chức trong việc ôn luyện, kiểm tra kiến thức; được cung cấp miễn phí cho tất cả người dùng.
LetQA không cung cấp dịch vụ mạng xã hội, không cung cấp thông tin tổng hợp và không thu phí người dùng.

Thông tin liên hệ & hỗ trợ

Email: hotro@letqa.com

Facebook: Let QA (fb.com/letqavn)

Liên kết phổ biến

Yêu cầu bổ sung đề thi

Đóng góp đề thi

Website liên kết

Phần mềm kiểm tra trùng lặp Kiểm Tra Tài Liệu

Phần mềm xuất bản tạp chí điện tử VOJS

Công cụ kiểm tra chính tả và thể thức Viver

Công cụ hỗ trợ trích dẫn và phân tích khoa học Scholar Hub