Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $A B = \sqrt{3}$, $A C = \sqrt{7}$, $S A = 1$. Hai mặt bên $\left( S A B \right)$ và $\left( S A C \right)$ lần lượt tạo với mặt đáy các góc bằng $45 \circ$ và $60 \circ$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A.  

$\dfrac{1}{2}$.

B.  

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

C.  

$\dfrac{7}{6}$.

D.  

$\dfrac{7 \sqrt{7}}{6}$.

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $A B = \sqrt{3}$, $A C = \sqrt{7}$, $S A = 1$. Hai mặt bên $\left( S A B \right)$ và $\left( S A C \right)$ lần lượt tạo với mặt đáy các góc bằng $45 \circ$ và $60 \circ$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{1}{2}$. B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. C. $\dfrac{7}{6}$. D. $\dfrac{7 \sqrt{7}}{6}$.
Lời giải

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( A B C \right)$ $\Rightarrow S H \bot \left( A B C \right)$. Kẻ $H E \bot A B , E \in A B$ và $H F \bot A C , F \in A C$.
Ta có $\left{\right. A B = \left( S A B \right) \cap \left( A B C \right) \\ S H \bot A B \\ H E \bot A B \\ \Rightarrow S E \bot A B \Rightarrow \left(\right. \left( S A B \right) , \left( A B C \right) \left.\right) = \left( E H , E S \right) = \hat{H E S} = 45 \circ \left( \hat{S H E} = 90 \circ \right)$
$\Rightarrow \Delta S H E$ vuông cân $\Rightarrow E H = S H$.
Ta có $\left{\right. A C = \left( S A C \right) \cap \left( A B C \right) \\ S H \bot A C \\ H F \bot A C \\ \Rightarrow S F \bot A C \Rightarrow \left(\right. \left( S A C \right) , \left( A B C \right) \left.\right) = \left( S F , F S \right) = \hat{H F S} = 60 \circ \left( \hat{S H F} = 90 \circ \right)$
$\Delta S H F$ vuông nên $H F = \dfrac{H S}{tan \hat{S H F}} = \dfrac{H S}{tan60 \circ} = \dfrac{H S}{\sqrt{3}}$.
Mà tứ giác $H E A F$ là hình chữ nhật $A H = E F^{2} = \sqrt{H E^{2} + H F^{2}} = \dfrac{2 S H \sqrt{3}}{3}$.
Ta có tam giác $S H A$ vuông tại $H$ $S A^{2} = S H^{2} + H A^{2} = \dfrac{7}{3} S H^{2} \Rightarrow S H = \dfrac{\sqrt{21}}{7} S A = \dfrac{\sqrt{21}}{7}$.
Vậy $V_{S . A B C} = \dfrac{1}{3} S H . S_{A B C} = \dfrac{1}{6} S H . A B . A C = \dfrac{1}{6} \dfrac{\sqrt{21}}{7} \sqrt{3} \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}$.