Cho khối nón $\left( N \right)$ có thiết diện qua trục là tam giác đều. Một khối cầu $\left( S \right)$ đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của khối nón. Tỷ số thể tích của khối cầu và thể tích khối nón

A.  

$\dfrac{32}{9}$.

B.  

$\dfrac{32}{15}$.

C.  

$\dfrac{15}{32}$.

D.  

$\dfrac{9}{32}$.

Đáp án đúng là: A

Cho khối nón $\left( N \right)$ có thiết diện qua trục là tam giác đều. Một khối cầu $\left( S \right)$ đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của khối nón. Tỷ số thể tích của khối cầu và thể tích khối nón
A. $\dfrac{32}{9}$. B. $\dfrac{32}{15}$. C. $\dfrac{15}{32}$. D. $\dfrac{9}{32}$.
Lời giải
Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều $S A B$ cạnh $x$.
Thế tích khối nón: $V_{1} = \dfrac{1}{3} \pi \left(r_{1}\right)^{2} h_{1} = \dfrac{1}{3} \pi \left(\left( \dfrac{x}{2} \right)\right)^{2} \dfrac{x \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi \sqrt{3} x^{3}}{24}$.
Gọi $I$ là trọng tâm tam giác $S A B$. Suy ra bán kính khối cầu $R = I A = \dfrac{2}{3} \dfrac{x \sqrt{3}}{2} = \dfrac{x \sqrt{3}}{3}$.
Thế tích khối cầu: $V_{2} = \dfrac{4}{3} \pi R^{3} = \dfrac{4}{3} \pi \left(\left( \dfrac{x \sqrt{3}}{3} \right)\right)^{3} = \dfrac{\pi 4 \sqrt{3} x^{3}}{27}$.
$\Rightarrow \dfrac{V_{2}}{V_{1}} = \dfrac{32}{9}$.