Trong không gian $O x y z$ cho mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A \left( 0 ; 0 ; - 4 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $a x + b y - z + c = 0$, khi đó $a - b + c$ bằng:

A.  

8.

B.  

0.

C.  

2.

D.  

-4.

Đáp án đúng là: D

Chọn đáp án D
+ Vì  $\left( \alpha \right)$ qua A ta có:  $- \left( - 4 \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4$.
+ Vì  $\left( \alpha \right)$ qua B ta có:  $2 a + c = 0 \Rightarrow a = 2$.
$\Rightarrow \left( \alpha \right): 2 x + b y - z - 4 = 0$.
+ Mặt cầu  $\left( S \right)$ có tâm  $I \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$,  $R = 3 \sqrt{3}$.
+ Chiều cao khối nón:  $h = d_{\left( I , \alpha \right)} = \dfrac{\left| 2 - 2 b - 3 - 4 \right|}{\sqrt{4 + b^{2} + 1}} = \dfrac{\left| 2 b + 5 \right|}{\sqrt{b^{2} + 5}}$.
+ Bán kính đường tròn:  $r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{27 - \left( \dfrac{\left| 2 b + 5 \right|}{\sqrt{b^{2} + 5}} \right)^{2}} = \sqrt{27 - \dfrac{\left( 2 b + 5 \right)^{2}}{b^{2} + 5}}$.
+ Thể tích khối nón:  $V = \dfrac{1}{3} \pi r^{2} h = \dfrac{1}{3} \pi \left( 27 - \dfrac{\left( 2 b + 5 \right)^{2}}{b^{2} + 5} \right) \dfrac{\left| 2 b + 5 \right|}{\sqrt{b^{2} + 5}}$.
+ Tới đây ta có thể thử các trường hợp đáp án.
Hoặc ta làm tự luận như sau:
Đặt  $t = \dfrac{\left| 2 b + 5 \right|}{\sqrt{b^{2} + 5}}$ và xét hàm số  $f \left( t \right) = \left( 27 - t^{2} \right) t$ trên đoạn  $\left[ 0 ; 3 \sqrt{3} \right]$.
Ta có:  $f^{\prime} \left( t \right) = 27 - 3 t^{2}$ ;  $f^{\prime} \left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3 \text{ hoặc } t = - 3$. Ta có bảng biến thiên:
 

Do đó thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi  $t = 3 \Leftrightarrow \left( \dfrac{\left| 2 b + 5 \right|}{\sqrt{b^{2} + 5}} \right)^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow 4 b^{2} + 20 b + 25 = 9 b^{2} + 45$ 
$\Leftrightarrow 5 b^{2} - 20 b + 20 = 0 \Leftrightarrow b = 2$.
Vì vậy  $a - b + c = - 4$.