Cho lăng trụ đứng $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Giả sử $d$ là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua $C$ và $d$ không nằm trong các mặt phẳng $\left( A B C \right)$ và $\left( A C C^{'} A^{'} \right)$. Gọi $M N$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $A A^{'}$ và $d , M$ thuộc đường thẳng $d$ và $N$ thuộc đường thẳng $A A^{'}$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $B^{'} M$ là

Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$, $A B = B C^{'} = \sqrt{3} a$, $\hat{A C B} = 60 \circ$. Lấy hai điểm $M , \textrm{ } N$ lần lượt trên hai cạnh $A B^{'}$ và $A^{'} C$ sao cho $\overset{\rightarrow}{M B^{'}} = 2 \overset{\rightarrow}{A M} ,$ $\overset{\rightarrow}{A^{'} C} = 3 \overset{\rightarrow}{A^{'} N}$. Thể tích khối đa diện $B M N C^{'} C$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $A B = a$ và $A^{'} B = a \sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$, cạnh $B C = a \sqrt{2}$. Góc giữa mặt phẳng $\left( A B^{'} C \right)$ và mặt phẳng $\left( B C C^{'} B^{'} \right)$ bằng $60 \circ$. Tính thể tích $V$ của khối đa diện $A B^{'} C A^{'} C^{'}$.

Cho khối lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $A B = A A^{'} = 1$ (tham khảo hình vẽ).

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A ' B ' C '$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$, $B C = a$, mặt phẳng $\left( A ' B C \right)$ tạo với đáy một góc $30 \circ$ và tam giác $A ' B C$ có diện tích bằng $a^{2} \sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C . A ' B ' C '$.

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$. $A B = A A^{'} = 2 a ,$ $M , N$ lần lượt là trung điểm của $B C$và $B B^{'}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $M N$ và $A C^{'}$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với $A B = 2 a , \textrm{ }\textrm{ } B C = a$ và $A A^{'} = 4 a .$ Gọi M là trung điểm của cạnh $A B .$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B^{'}$ và CM bằng

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ tam giác vuông cân tại $A , A B = a , A A^{'} = a \sqrt{2} .$ Gọi $M$ là trung điểm $B C .$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A M$ và $B^{'} C$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A ' B ' C '$, có đáy $A B C$là tam giác vuông cân tại $A , A A ' = a$, $A ' B = a \sqrt{5}$. Thể tích khối lăng trụ $A B C . A ' B ' C '$là