Cho lăng trụ đứng $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Giả sử $d$ là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua $C$ và $d$ không nằm trong các mặt phẳng $\left( A B C \right)$ và $\left( A C C^{'} A^{'} \right)$. Gọi $M N$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $A A^{'}$ và $d , M$ thuộc đường thẳng $d$ và $N$ thuộc đường thẳng $A A^{'}$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $B^{'} M$ là

A.  

$\dfrac{a}{2}$.

B.  

$\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.

C.  

$\dfrac{a \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2}$.

D.  

$\dfrac{a \sqrt{3}}{6}$.

Đáp án đúng là: C

Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$, $A B = B C^{'} = \sqrt{3} a$, $\hat{A C B} = 60 \circ$. Lấy hai điểm $M , \textrm{ } N$ lần lượt trên hai cạnh $A B^{'}$ và $A^{'} C$ sao cho $\overset{\rightarrow}{M B^{'}} = 2 \overset{\rightarrow}{A M} ,$ $\overset{\rightarrow}{A^{'} C} = 3 \overset{\rightarrow}{A^{'} N}$. Thể tích khối đa diện $B M N C^{'} C$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A ' B ' C '$, có đáy $A B C$là tam giác vuông cân tại $A , A A ' = a$, $A ' B = a \sqrt{5}$. Thể tích khối lăng trụ $A B C . A ' B ' C '$là