Cho tứ diện $A B C D$ có $A B = C D = 2 a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $A D$và $B C$. Biết $M N = a \sqrt{3}$, góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $C D$ bằng.

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và $A B = 6 a , A C = 9 a , A D = 3 a$. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.

Cho hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của $\left( C \right)$ và các tuyến tiếp của $\left( C \right)$ tại $A$, $B$ cắt các đường tiệm cận ngang và đứng của $\left( C \right)$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$. Diện tích tứ giác $M N P Q$ có giá trị nhỏ nhất bằng?

Điện năng được truyền từ đường dây điện một pha có điện áp hiệu dụng ổn định 220V vào nhà một hộ dân bằng đường dây tải điện có chất lượng kém. Trong nhà của hộ dân này, dùng một máy biến áp lí tưởng để duy trì điện áp hiệu dụng ở hai đầu ra luôn là 220V (gọi là máy ổn áp). Máy ổn áp này chỉ hoạt động khi điện áp hiệu dụng ở đầu vào lớn hơn 110V. Tính toán cho thấy, nếu công suất sử dụng điện trong nhà là 1,8 kW thì tỉ số giữa điện áp hiệu dụng ở đầu ra và điện áp hiệu dụng ở đầu vào (tỉ số tăng áp) của máy ổn áp là 1,2. Coi điện áp và cường độ dòng điện luôn cùng pha. Nếu công suất sử dụng điện trong nhà là 2,4kW thì tỉ số tăng áp của máy ổn áp là

Cho hai dây dẫn thẳng, dài, đặt song song trong cùng một mặt phẳng như hình vẽ. Trong hai dây dẫn có hai dòng điện cùng chiều chạy qua. Gọi M là điểm mà tại đó cảm ứng từ tổng hợp bằng 0. M chỉ có thể nằm tại vùng

Cho tứ diện

Cho tứ diện $A B C D$ có $A D \bot \left( A B C \right)$, $A C = A D = 2$, $A B = 1$ và $B C = \sqrt{5}$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( B C D \right)$.

Cho tứ diện $A B C D$ có tam giác $B C D$ vuông tại $C$, $A B$ vuông góc với mặt phẳng $\left( B C D \right)$, $A B = 5 a \textrm{ } , \textrm{ } B C = 3 a$ và $C D = 4 a$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A B C D$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, $C \left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh $A B , A C , A D$ lần lượt tại các điểm $B^{'} , C^{'} , D^{'}$ thỏa mãn $\dfrac{A B}{A B^{'}} + \dfrac{A C}{A C^{'}} + \dfrac{A D}{A D^{'}} = 4$. Biết tứ diện $A B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục hoành tại điểm $M \left( \dfrac{a}{b} ; 0 ; 0 \right) \left( a , b \in \mathbb{Z} ; b \neq 0 \right)$, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?