Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

A.  

$\left( \dfrac{7}{3} ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$.

B.  

$\left( \dfrac{- 27}{3} ; \dfrac{41}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$.

C.  

$\left( \dfrac{5}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{74}{3} \right)$.

D.  

$\left( \dfrac{1}{3} ; \dfrac{7}{3} ; \dfrac{91}{8} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $\left( \dfrac{7}{3} ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$. B. $\left( \dfrac{- 27}{3} ; \dfrac{41}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$. C. $\left( \dfrac{5}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{74}{3} \right)$. D. $\left( \dfrac{1}{3} ; \dfrac{7}{3} ; \dfrac{91}{8} \right)$.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
$9 = \dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{A B}{A M} . \dfrac{A C}{A N} . \dfrac{A D}{A P}}$.
$\Rightarrow \dfrac{A M . A N . A P}{A B . A C . A D} \geq \dfrac{1}{27}$ $\Rightarrow \dfrac{V_{A M N P}}{V_{A B C D}} \geq \dfrac{1}{27} \Rightarrow V_{A M N P} \geq \dfrac{1}{27} V_{A B C D}$
$V_{A M N P}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{A B}{A M} = \dfrac{A C}{A N} = \dfrac{A D}{A P} = 3$. Suy ra $\left{\right. \left( M N P \right) // \left( B C D \right) \\ \overset{\rightarrow}{A B} = 3 \overset{\rightarrow}{A M}$.
Ta có: $\overset{\rightarrow}{A B} = \left( 4 ; 2 ; - 4 \right)$; $\overset{\rightarrow}{B C} = \left( - 6 ; 2 ; 1 \right)$; $\overset{\rightarrow}{B D} = \left( - 5 ; 3 ; 5 \right)$ $\Rightarrow \overset{\rightarrow}{n_{B C D}} = \left[ \overset{\rightarrow}{B C} , \overset{\rightarrow}{B D} \left]\right. = \left(\right. 7 ; 25 ; - 8 \right)$.
Vì $\overset{\rightarrow}{A B} = 3 \overset{\rightarrow}{A M}$ nên $M \left( \dfrac{7}{3} ; \dfrac{- 4}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( M N P \right)$: $7 . \left( x - \dfrac{7}{3} \right) + 25 \left( y + \dfrac{4}{3} \right) - 8 \left( z - \dfrac{5}{3} \right) = 0$
$\left( M N P \right)$: $7 x + 25 y - 8 z + \dfrac{91}{3} = 0$.
Ta thấy rằng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm $\left( \dfrac{1}{3} ; \dfrac{7}{3} ; \dfrac{91}{8} \right)$.