Cho hàm số $f \left( x \right) = x^{2} - 2 x$. Gọi $S$ là tập các giá trị $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g \left( x \right) = \left| f \left(\right. 1 + sin x \right) + m \left|\right.$ bằng 3. Tích các phần tử của S bằng

A.  

6.

B.  

72.

C.  

−12.

D.  

−6.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $g \left( x \right) = \left| f \left(\right. 1 + sin x \right) + m \left|\right.$.
Đặt $t = 1 + sin x \Rightarrow 0 \leq t \leq 2$.
Khi đó bài toán trở thành tìm các giá trị $m$ để $\underset{t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right.}{max} \left|\right. h \left( t \right) \left|\right. = 3$ với $h \left( t \right) = f \left( t \right) + m$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f \left( t \right) = t^{2} - 2 t$:

Ta có $\underset{t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right.}{max} \left|\right. h \left( t \right) \left|\right. = 3 \Leftrightarrow \left|\right. h \left( t \right) \left|\right. \leq 3 , \forall t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right. \Leftrightarrow - 3 \leq h \left( t \right) \leq 3 , \forall t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$
$\Leftrightarrow \left{\right. h \left( t \right) \leq 3 \\ h \left( t \right) \geq - 3 , \forall t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right. \Leftrightarrow \left{\right. f \left( t \right) + m \leq 3 \\ f \left( t \right) + m \geq - 3 , \forall t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$
$\Leftrightarrow \left{\right. \underset{t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right.}{max} f \left( t \right) \leq 3 - m \\ \underset{t \in \left[\right. 0 ; 2 \left]\right.}{min} f \left( t \right) \geq - 3 - m \Leftrightarrow \left{ 0 \leq 3 - m \\ - 1 \geq - 3 - m \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 3$.
Đẳng thức xảy ra khi $m = - 2$ hay $m = 3$. Khi đó $S = \left{\right. - 2 ; 3 \right}$.