Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left|\right. x^{4} - 2 x^{2} + m \left|\right.$ trên $\left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$ là nhỏ nhất. Tính số phần tử của S?

A.  

$10$.

B.  

$8$.

C.  

$11$.

D.  

$9$.

Đáp án đúng là: A

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left|\right. x^{4} - 2 x^{2} + m \left|\right.$ trên $\left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$ là nhỏ nhất. Tính số phần tử của S?
A. $10$. B. $8$. C. $11$. D. $9$.
Lời giải
Do $\left|\right. x^{4} - 2 x^{2} + m \left|\right. \geq 0$ nên để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $\left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$ là nhỏ nhất khi và chỉ khi phương trình $x^{4} - 2 x^{2} + m = 0$ có nghiệm trên $\left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$.
Xét hàm số $f \left( x \right) = x^{4} - 2 x^{2} + m$ trên $\left[\right. 0 ; 2 \left]\right.$.
Ta có $f^{'} \left( x \right) = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 1 \left(\right. n \right) \\ \left( n \right) \\ \left( l \right)$.
Bảng biến thiên

Để phương trình $x^{4} - 2 x^{2} + m = 0$ có nghiệm trên $\left[ 0 ; 2 \left]\right.$ $\Leftrightarrow \left{\right. m + 8 \geq 0 \\ m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 8 \leq m \leq 1$.