Một lò xo nhẹ có độ cứng $$ 20 N/m đầu trên được treo vào một điểm cố định, đầu dưới gắn với vật nhỏ $$ A có khối lượng $$ 100 g ; vật $$ A nối với vật $$ B có khối lượng $$ 100 g bằng một sợi dây mêm, mảnh, nhẹ, không dãn và đủ dài. Từ vị trí cần bằng của hệ kéo vật $$ B thẳng đứng xuống dưới một đoạn $$ 24 cm rồi thả nhẹ để vật $$ B đi lên với vận tốc ban đầu bằng 0. Bỏ qua mọi lực cản, lấy $$ g=10 m/ s 2 . Khoảng thời gian tính từ lúc dây bị chùng lần đầu đến khi dây căng trở lại gần nhất với giá trị nào sau đây?

A.  

$\mathrm{0,17}\mathrm{s}$

B.  

$\mathrm{0,31}\mathrm{s}$

C.  

$\mathrm{0,43}\mathrm{s}$

D.  

$\mathrm{0,24}\mathrm{s}$

Đáp án đúng là: C

$\Delta l_{0} = \dfrac{2 m g}{k} = \dfrac{2 . 0 , 1 . 10}{20} = 0 , 1 m = 10 c m$
$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{2 m}} = \sqrt{\dfrac{20}{2 . 0 , 1}} = 10$ (rad/s)
$v_{0} = \omega \sqrt{A^{2} - \Delta l_{0}^{2}} = 10 \sqrt{\left(24\right)^{2} - \left(10\right)^{2}} = 20 \sqrt{119}$ (cm/s)
Tại vị trí lò xo không biến dạng thì dây chùng, vật A dao động quanh vị trí cân bằng mới, còn vật B bị ném lên thẳng đứng
$\Delta l_{A} = \dfrac{m g}{k} = \dfrac{0 , 1 . 10}{20} = 0 , 05 m = 5 c m$
$\left(\omega\right)_{A} = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{20}{0 , 1}} = 10 \sqrt{2}$ (rad/s)
$A_{A} = \sqrt{\Delta l_{A}^{2} + \left(\left(\right. \dfrac{v}{\left(\omega\right)_{A}} \right)\right)^{2}} = \sqrt{5^{2} + \left(\left( \dfrac{20 \sqrt{119}}{10 \sqrt{2}} \right)\right)^{2}} = \sqrt{263}$ (cm)
Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng mới, chiều dương hướng xuống
$x_{A} = \sqrt{263} cos \left( 10 \sqrt{2} t + arccos \dfrac{- 5}{\sqrt{263}} \right)$cm và $x_{B} = x_{0} - v_{0} t + \dfrac{1}{2} g t^{2} = l - 5 - 20 \sqrt{119} t + 500 t^{2}$ cm
Khi dây căng trở lại thì $\sqrt{263} cos \left( 10 \sqrt{2} t + arccos \dfrac{- 5}{\sqrt{263}} \right) = - 5 - 20 \sqrt{119} t + 500 t^{2} \Rightarrow t \approx 0 , 44 s$