Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $\left|\right. z - 2 - 5 i \left|\right. = \left|\right. z - 3 i \left|\right.$, biết rằng $z = x + y i ,$ \left(\right. x , y \in \mathbb{R} \right) có mô đun nhỏ nhất. Tính $P = x^{2} + y^{2} .$

A.  

$P = \dfrac{4}{5}$.

B.  

$P = 5$.

C.  

$P = \dfrac{25}{4}$

D.  

$P = \dfrac{25}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $\left| z - 2 - 5 i \left|\right. = \left|\right. z - 3 i \left|\right.$, biết rằng $z = x + y i ,$ $\left(\right. x , y \in \mathbb{R} \right)$ có mô đun nhỏ nhất. Tính $P = x^{2} + y^{2} .$
A. $P = \dfrac{4}{5}$. B. $P = 5$. C. $P = \dfrac{25}{4}$D. $P = \dfrac{25}{2}$.
Lời giải
Ta có $\left|\right. z - 2 - 5 i \left|\right. = \left|\right. z - 3 i \left|\right.$
$\Leftrightarrow \left|\right. x + y i - 2 - 5 i \left|\right. = \left|\right. x + y i - 3 i \left|\right.$
$\Leftrightarrow \sqrt{\left(\left( x - 2 \right)\right)^{2} + \left(\left( y - 5 \right)\right)^{2}} = \sqrt{x^{2} + \left(\left( y - 3 \right)\right)^{2}}$
$\Leftrightarrow x + y - 5 = 0$
$\Leftrightarrow y = 5 - x$.
Mô đun của số phức $z$ là $\left| z \left|\right. = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + \left(\left(\right. 5 - x \right)\right)^{2}} = \sqrt{2 x^{2} - 10 x + 25}$.
Mô đun của số phức $z$ nhỏ nhất là $\dfrac{5 \sqrt{2}}{2}$ khi $x = \dfrac{5}{2} \Rightarrow y = \dfrac{5}{2}$.
$P = x^{2} + y^{2} = \left(\left( \dfrac{5}{2} \right)\right)^{2} + \left(\left( \dfrac{5}{2} \right)\right)^{2} = \dfrac{25}{2}$.