Trên tập số phức, xét phương trình $z^{2} - 2 \left( m + 2 \right) z + m^{2} + 1 = 0$ ( $m$ là tham số thực). Tổng các giá trị của tham số $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $z_{1} , \textrm{ } z_{2}$ thỏa mãn $\left|\right. z_{1} \left|\right. + \left|\right. z_{2} \left|\right. = 3$ thuộc khoảng nào sau đây?

Xét phương trình $z^{2} - 2 \left( m + 2 \right) z + m^{2} + 1 = 0$ (*)
Ta có: $\left(\Delta\right)^{'} = \left( m + 2 \right)^{2} - \left( m^{2} + 1 \right) = 4 m + 3$.
Để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $z_{1} , \textrm{ } z_{2}$ thì $\left(\Delta\right)^{'} \neq 0 \Leftrightarrow 4 m + 3 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - \dfrac{3}{4}$.
Ta xét 2 trường hợp:
 Trường hợp 1: $\left(\Delta\right)^{'} > 0 \Leftrightarrow 4 m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{3}{4}$.
Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $z_{1} , \textrm{ } z_{2}$ và $z_{1} , \textrm{ } z_{2} \in \mathbb{R}$.
Nhận xét: với $m > - \dfrac{3}{4}$ thì $\left{\right. z_{1} + \textrm{ } z_{2} = 2 \left( m + 2 \right) > 0 \\ z_{1} \textrm{ } z_{2} = m^{2} + 1 > 0 \Rightarrow z_{1} > 0 \textrm{ } ; \textrm{ } z_{2} > 0$.
Theo đề: $\left|\right. z_{1} \left|\right. + \left|\right. z_{2} \left|\right. = 3 \Leftrightarrow z_{1} + z_{2} = 3 \Leftrightarrow 2 \left( m + 2 \right) = 3 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}$ (thỏa $m > - \dfrac{3}{4}$).
Hay $m = - \dfrac{1}{2}$ thỏa yêu cầu bài toán.
 Trường hợp 2: $\left(\Delta\right)^{'} < 0 \Leftrightarrow 4 m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{3}{4}$.
Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $z_{1} , \textrm{ } z_{2}$ và $z_{1} \textrm{ } = \bar{z_{2}}$.
Ta có: $z_{1} z_{2} = m^{2} + 1 \Rightarrow \left| z_{1} z_{2} \left|\right. = m^{2} + 1 \Rightarrow \left|\right. z_{1} \left|\right. \cdot \left|\right. z_{2} \left|\right. = m^{2} + 1 \Rightarrow \left(\left|\right. z_{1} \left|\right.\right)^{2} = m^{2} + 1$.
Theo đề: $\left|\right. z_{1} \left|\right. + \left|\right. z_{2} \left|\right. = 3 \Leftrightarrow 2 \left|\right. z_{1} \left|\right. = 3 \Leftrightarrow \left|\right. z_{1} \left|\right. = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \left(\left|\right. z_{1} \left|\right.\right)^{2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow m^{2} + 1 = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow m^{2} = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
So với điều kiện $m < - \dfrac{3}{4}$ ta được $m = - \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Hay $m = - \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy $m = - \dfrac{1}{2}$; $m = - \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ là giá trị cần tìm.
Suy ra $- \dfrac{1}{2} + \left(\right. - \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right) = \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \in \left( - 2 ; - 1 \right)$.