Trong không gian $O x y z$, cho ba điểm $A \left( 3 ; 2 ; - 1 \right) , B \left( - 1 ; - x ; 1 \right) , C \left( 7 ; - 1 ; y \right)$. Khi $A , B , C$ thẳng hàng, giá trị $x + y$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A \left( - 1 ; 0 ; 1 \right) , B \left( 3 ; 2 ; 1 \right) , C \left( 5 ; 3 ; 7 \right)$. Biết rằng có duy nhất một điểm $M \left( a , b , c \right)$ thỏa mãn $M A = M B$ và $M A + M B + 2 M C$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $a + 2 b + 3 c$?

Trong không gian $O x y z$, cho ba điểm $A \left( - 2 ; 0 ; 0 \right) , B \left( 0 ; 3 ; 0 \right)$ và $C \left( 0 ; 0 ; 4 \right)$. Mặt phẳng $\left( A B C \right)$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ trục toạ độ $\text{Oxyz}$, cho ba điểm $M \left( 3 ; 0 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } N \left( m ; n ; 0 \right)$, $P \left( 0 ; 0 ; p \right)$. Biết $M N = \sqrt{13} \textrm{ } , \textrm{ } \hat{M O N} = 60 \circ$, thể tích tứ diện $O M N P$ bằng $3$. Giá trị của biểu thức $A = m + 2 n^{2} + p^{2}$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A \left( 1 ; 0 ; 0 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 0 ; - 2 ; 0 \right)$ và $C \left( 0 ; 0 ; 3 \right)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $\left( A B C \right)$?

Trong không gian $O x y z ,$ cho mặt phẳng $\left( P \right) : x - y + z + 7 = 0 ,$ đường thẳng $d : \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{- 2} = \dfrac{z}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + y^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 5 .$ Gọi $A , \textrm{ }\textrm{ } B$ là hai điểm trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $A B = 4 ;$ $A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B^{'}$ là hai điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $A A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B B^{'}$ cùng song song với đường thẳng $d .$ Giá trị lớn nhất của tổng độ dài $A A^{'} + \textrm{ } B B^{'}$ gần nhất với giá trị nào sau đây

Trong không gian $O x y z ,$ cho hai điểm $A \left( 1 ; 2 ; 3 \right) , B \left( 3 ; - 2 ; - 1 \right) .$ Đường thẳng $A B$ cắt mặt phẳng tọa độ $\left( O x y \right)$ tại điểm $E \left( a ; b ; c \right) .$ Tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Trong không gian $O x y z$ cho mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A \left( 0 ; 0 ; - 4 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $a x + b y - z + c = 0$, khi đó $a - b + c$ bằng:

Trong không gian $O x y z$ cho mặt phẳng $\left( P \right) : x - 2 y + 2 z + 12 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0$. Xét hai điểm $M$, $N$ lần lượt thuộc $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ sao cho $\overset{\rightarrow}{M N}$ cùng phương với véc-tơ $\overset{\rightarrow}{u} = \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$. Giá trị nhỏ nhất của $M N$ bằng