Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A \left( - 1 ; 0 ; 1 \right) , B \left( 3 ; 2 ; 1 \right) , C \left( 5 ; 3 ; 7 \right)$. Biết rằng có duy nhất một điểm $M \left( a , b , c \right)$ thỏa mãn $M A = M B$ và $M A + M B + 2 M C$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $a + 2 b + 3 c$?

A.  

−2

B.  

12

C.  

9

D.  

−9

Đáp án đúng là: B

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A \left( - 1 ; 0 ; 1 \right) , B \left( 3 ; 2 ; 1 \right) , C \left( 5 ; 3 ; 7 \right)$. Biết rằng có duy nhất một điểm $M \left( a , b , c \right)$ thỏa mãn $M A = M B$ và $M A + M B + 2 M C$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $a + 2 b + 3 c$?
A. −2 B. 12 C. 9 D. −9
Lời giải
Chọn B
Ta có: $M A = M B$ nên $M$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$.
$\overset{\rightarrow}{A B} = \left( 4 ; 2 ; 0 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm $A B$ $\Rightarrow I \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$.
$\Rightarrow \left( P \right) : 2 x + y - 3 = 0$.
Thay $A$ vào $\left( P \right)$ta được: $2 \left( - 1 \right) - 3 < 0$.
Thay $C$ vào $\left( P \right)$ta được: $2 . 5 + 3 - 3 > 0$.
$\Rightarrow A , C$ nằm khác phía đối với $\left( P \right)$.
Lại có: $M A + M B + 2 M C = 2 M A + 2 M C = 2 \left( M A + M C \right)$.
$M A + M C$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow A , M , C$ thẳng hàng tức là $M = A C \cap \left( P \right)$.
Phương trình đường thẳng $\left( A C \right) : \left{\right. x = - 1 + 2 t \\ y = t \\ z = 1 + 2 t$.
$M \in \left( A C \right) \Rightarrow M \left( - 1 + 2 t ; t ; 1 + 2 t \right)$.
$M \in \left( P \right) \Rightarrow - 2 + 4 t + t - 3 = 0 \Rightarrow t = 1$.
Vậy $M \left( 1 ; 1 ; 3 \right)$. Suy ra $a + 2 b + 3 c = 12$.