Trong không gian với hệ trục toạ độ $\text{Oxyz}$, cho ba điểm $M \left( 3 ; 0 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } N \left( m ; n ; 0 \right)$, $P \left( 0 ; 0 ; p \right)$. Biết $M N = \sqrt{13} \textrm{ } , \textrm{ } \hat{M O N} = 60 \circ$, thể tích tứ diện $O M N P$ bằng $3$. Giá trị của biểu thức $A = m + 2 n^{2} + p^{2}$ bằng

A.  

$27$.

B.  

$28$.

C.  

$30$.

D.  

$29$.

Đáp án đúng là: D

Trong không gian với hệ trục toạ độ $\text{Oxyz}$, cho ba điểm $M \left( 3 ; 0 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } N \left( m ; n ; 0 \right)$, $P \left( 0 ; 0 ; p \right)$. Biết $M N = \sqrt{13} \textrm{ } , \textrm{ } \hat{M O N} = 60 \circ$, thể tích tứ diện $O M N P$ bằng $3$. Giá trị của biểu thức $A = m + 2 n^{2} + p^{2}$ bằng
A. $27$. B. $28$. C. $30$. D. $29$.
Lời giải
Ta có $M N = \sqrt{13} \textrm{ } \Leftrightarrow \sqrt{\left(\left( m - 3 \right)\right)^{2} + n^{2}} = \sqrt{13} \textrm{ } \Leftrightarrow m^{2} + n^{2} - 6 m - 4 = 0$. (1)
$\hat{M O N} = 60 \circ \Leftrightarrow \left( \overset{\rightarrow}{O M} \textrm{ } ; \textrm{ } \overset{\rightarrow}{O N} \right) \textrm{ } = 60 \circ \Leftrightarrow cos \left( \overset{\rightarrow}{O M} \textrm{ } ; \textrm{ } \overset{\rightarrow}{O N} \right) \textrm{ } = \dfrac{3 m}{3 \sqrt{m^{2} + n^{2}}} = \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + n^{2}} = 2 m \Leftrightarrow \left{ m \geq 0 \\ n^{2} = 3 m^{2}$ thế vào (1) suy ra $4 m^{2} - 6 m - 4 = 0 \Rightarrow m = 2$ $\Rightarrow n^{2} = 12$.
Xét tam giác $O M N$ có $O M = 3 \textrm{ } , \textrm{ } O N = \sqrt{m^{2} + n^{2}} = 4$, $\hat{M O N} = 60 \circ$
$\Rightarrow S_{\triangle O M N} = \dfrac{1}{2} O M . O N . sin \hat{M O N} = 3 \sqrt{3}$.
Dễ dàng nhận thấy $P$ thuộc trục $O z$, hai điểm $M , N$ nằm trên mặt phẳng $\left(\right. O x y \right)$ nên $O P \bot \left( O M N \right)$ hay $V_{O M N P} = \dfrac{1}{3} S_{\triangle O M N} . O P$ $\Leftrightarrow 3 = \dfrac{1}{3} . 3 \sqrt{3} . \sqrt{p^{2}} \Leftrightarrow p^{2} = 3$.
Vậy $A = m + 2 n^{2} + p^{2} = 2 + 2 . 12 + 3 = 29$.