Trong không gian $O x y z$, lấy điểm $C$ trên tia $O z$ sao cho $O C = 1$. Trên hai tia $O x , O y$ lần lượt lấy hai điểm $A , B$ thay đổi sao cho $2 O A + O B = 2 O C$. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O A B C$.

A.  

$\dfrac{\sqrt{5}}{10}$.

B.  

$\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}$.

C.  

$\dfrac{3 \sqrt{5}}{10}$.

D.  

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

Gọi $\mathrm{M},\mathrm{N}$, I là các điểm trên một lò xo nhẹ, được treo thẳng đứng ở điểm $\mathrm{O}$ cố định. Khi lò xo có chiều dài tự nhiên thì $\mathrm{O}\mathrm{M}=\mathrm{M}\mathrm{N}=\mathrm{N}\mathrm{I}=10\mathrm{c}\mathrm{m}$. Gắn vật nhỏ vào đầu dưới $\mathrm{I}$ của lò xo và kích thích đề vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Trong quá trình dao động tỉ số độ lớn lực kéo lớn nhất và độ lớn lực kéo nhỏ nhất tác dụng lên $\mathrm{O}$ bằng 3; lò xo giãn đều; khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm $\mathrm{M}$ và $\mathrm{N}$ là $12\mathrm{c}\mathrm{m}$. Lấy ${\pi }^2=10$. Vật dao động với tần số là: