Trong không gian với hệ tọa độ  $O x y z$ cho mặt cầu  $\left( \text{S} \right) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 1 = 0$và mạt phẳng  $\left( \text{P} \right) : x + y + 2 z + 5 = 0$. Lấy điểm  $A$ di động trên  $\left( \text{S} \right)$và điểm  $B$ di động trên $\left( \text{S} \right)$sao cho  $\overset{\rightarrow}{A \text{B}}$cùng phương  $\overset{\rightarrow}{a} = \left( - 2 ; 1 ; - 1 \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn  $A B$.

A.  

$2 + 3 \sqrt{6} \cdot$

B.  

$4 + 3 \sqrt{6} \cdot$

C.  

2+ $\dfrac{3 \sqrt{6}}{2} \cdot$

D.  

$4 +  \dfrac{3 \sqrt{6}}{2} \cdot$.

Đáp án đúng là: B

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$ cho mặt cầu  $\left( \text{S} \right) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z - 1 = 0$ và mặt phẳng  $\left( \text{P} \right) : x + y + 2z + 5 = 0$. Lấy điểm  $A$ di động trên  $\left( \text{S} \right)$ và điểm  $B$ di động trên  $\left( \text{S} \right)$ sao cho  $\overset{\rightarrow}{AB}$ cùng phương  $\overset{\rightarrow}{a} = \left( -2 ; 1 ; -1 \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn  $AB$. 
A.  $2 + 3 \sqrt{6}$ B.  $4 + 3 \sqrt{6}$ C.  $2 + \dfrac{3 \sqrt{6}}{2}$ D.  $4 + \dfrac{3 \sqrt{6}}{2}$ 
Lời giải 
+)  $\left( \text{S} \right)$ có tâm  $I \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$, bán kính  $R = 2$. 
+)  $\left( \text{P} \right)$ có VTPT  $\overset{\rightarrow}{n} = \left( 1 ; 1 ; 2 \right)$, đường thẳng  $AB$ có VTVP  $\overset{\rightarrow}{a} = \left( -2 ; 1 ; -1 \right)$. 
+) Ta có  $\sin \left( \widehat{AB ; P} \right) = \dfrac{1}{2}$, suy ra góc giữa  $AB$ và  $\left( P \right)$ bằng  $30^\circ$. 
+) Gọi  $H$ là hình chiếu của  $A$ trên  $\left( P \right)$. Ta có  $AB = 2 \cdot AH$. Do đó  $AB_{max}$ khi và chỉ khi  $AH_{max}$ 
$AH_{max} = d \left( I ; \left( P \right) \right) + R = 2 + \dfrac{3 \sqrt{6}}{2}$ 
+) Vậy  $AB_{max} = 4 + 3 \sqrt{6}$