Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right) : x + 2 y + z - 7 = 0$ và đi qua hai điểm $A \left( 1 ; 2 ; 1 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 2 ; 5 ; 3 \right)$. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng:

A.  

$\dfrac{\sqrt{470}}{3}$.

B.  

$\dfrac{\sqrt{546}}{3}$.

C.  

$\dfrac{\sqrt{763}}{3}$.

D.  

$\dfrac{\sqrt{345}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Lời giải
Gọi  $I$ là tâm mặt cầu  $(S)$  $\Rightarrow I \in (Q)$ là mặt phẳng trung trực của  $AB : \left\{ \begin{array}{l} M \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{2}, 2 \right) \\ \text{VTP} \, \vec{AB} = \left( 1, 3, 2 \right) \end{array} \right.$ 
có dạng:  $x + 3y + 2z - 16 = 0$.
Vậy  $I \in d$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng:  $\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + 2z - 16 = 0 \\ x + 2y + z - 7 = 0 \end{array} \right.$ 
+ cho  $x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = -2 \\ z = 11 \end{array} \right. \Rightarrow C \left( 0, -2, 11 \right) \in d$ và cho  $x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = -3 \\ z = 12 \end{array} \right. \Rightarrow D \left( 1, -3, 12 \right) \in d$.
+ Đường thẳng  $d : \left\{ \begin{array}{l} C \left( 0, -2, 11 \right) \\ \text{VTC} \, \vec{CD} = \left( 1, -1, 1 \right) \end{array} \right.$ có dạng:  $\left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = -2 - t \\ z = 11 + t \Rightarrow I \left( t, -2 - t, 11 + t \right) \end{array} \right.$.
+ Bán kính  $R = IA = \sqrt{\left( 1 - t \right)^2 + \left( 4 + t \right)^2 + \left( 10 + t \right)^2} = \sqrt{3 \left( \left( t + \dfrac{13}{3} \right)^2 + \dfrac{82}{9} \right)} \geq \dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi  $t = -\dfrac{13}{3}$.
Vậy  $R_{min} = \dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi  $t = -\dfrac{13}{3}$.